![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Цель данной работы – изучить законы колебаний математического маятника и ознакомиться с методикой экспериментального определения ускорения свободного падения с его помощью.Стр 1 из 3Следующая ⇒
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Учебно-методическое пособие К лабораторной работе № 1.1 Цель данной работы – изучить законы колебаний математического маятника и ознакомиться с методикой экспериментального определения ускорения свободного падения с его помощью. Краткая теория. Механическое движение тел – изменение их положения в пространстве с течением времени. Движение тела подразделяется на три вида: поступательное – все точки тела движутся одинаково (скорость и ускорение всех точек тела одинаковы и по величине и по направлению); вращательное – все точки тела движутся по окружностям вокруг общего центра или оси;
Существует множество различных видов периодических колебаний, простейшими из которых являются гармонические колебания – колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Гармонические колебания – это идеализация, занимающая среди всех других колебаний особое место, что обусловлено двумя причинами: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническим колебаниям; 2) любое негармоническое колебание можно представить в виде суммы (наложений) различных гармонических колебаний. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид X= A Sin(ω t+φ о) (1) или X= A Cos(ω t+φ о). (2). В уравнениях (1) и (2): Х – смещение (отклонение)колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А – амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия (А = |Хmax|). Амплитуда и смещение в системе СИизмеряются в метрах. ω – циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний, происходящих в течение 2π секунд. В системе СИ циклическая частота измеряется в с-1. Циклическая частота связана с периодом колебаний Т и частотой ν. Т – период колебаний, величина, определяющая время одного полного колебания (промежуток времени между двумя последовательными прохождениями колеблющейся точки через одно и то же положение в одном и том же направлении). Т= ν – частота колебаний, величина, показывающая число полных колебаний за единицу времени. Частота связана с периодом и циклической частотой соотношениями: ν = ω t+φ о – фаза колебаний , величина, определяющая величину смещения Х колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени t. φ о – начальная фаза, величина, определяющая величину смещения Х колеблющейся точки от положения равновесия в начальный момент времени (t=0). Начальная фаза и фаза колебаний измеряются в угловых единицах, т.е. в градусах или в радианах (в долях π). Используя одно из кинематических уравнений гармонических колебаний, например уравнение (1), найдем кинематические характеристики этих колебаний – скорость и ускорение. Скорость V – это первая производная по времени от смещения Х: V = где величина Aω – амплитуда скорости Аv гармонических колебаний. Ускорение гармонических колебаний α определится как первая производная по времени от скорости гармонических колебаний, или вторая производная по времени от смещения
α =-ω 2АSin(ω t+ φ о)=-ω 2Х (5) Из формул (1), (2) и (3) видно, что при гармонических колебаниях смещение, скорость и ускорение характеризуются одинаковой циклической частотой и, следовательно периодом (Т= На рисунке 2 представлены графики зависимости от времени смещения, скорости и ускорения (начальная фаза φ о=0). Как видно из рисунка, в момент прохождения колеблющейся точкой положения равновесия (Х=0) ее скорость максимальна. Когда же точка максимально отклонится от положения равновесия (Х=+А или Х=-А), ее скорость равна нулю, а ускорение становится максимальным. При этом, знак ускорения всегда противоположен знаку смещения, т.е. ускорение всегда направлено к положению равновесия колеблющейся точки. Зная массу m колеблющейся частицы (материальная точка) и ее ускорение, определяемое уравнением (5), найдем силу, под действием которой совершаются гармонические колеба- ния. Согласно второму закону Ньютона эта сила равна F = mα = -m ω 2Х = - kX, (6) где k = m ω 2 - коэффициент пропорциональности является постоянной величиной для данного осциллятора (осциллятор - физическая система, совершающая колебания). Из уравнения (6) видно, что сила, вызывающая гармоническое колебание, пропорциональна смещению Х и направлена против смещения, на что указывает знак минус. Эта сила стремится возвратить колеблющуюся точку в положение равновесия, поэтому ее называют возвращающей силой. Такой силой, например, может быть сила упругости, возникающая при малых деформациях любого вида, которая, согласно закону Гука, пропорциональна деформации (смещению) ∆ Х и противоположна ему по знаку. Возвращающие силы могут иметь и иную, не упругую природу. В этих случаях они называются квазиупругими силами (т.е. «как бы подобны упругим силам»). Коэффициент k, определяющий значение силы, вызывающей смещение, называют коэффициентом возвращающей силы.Как силы упругости, так и квазиупругие силы являются внутренними силами колеблющейся системы. Следовательно. гармонические колебания происходят под действием внутренних упругих, или на них похожих, квазиупругих сил. Колебания, происходящие только под действием внутренних сил, называются свободными (или собственными). Энергия гармонических колебаний. Для гармонических колебаний выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которого полная энергия Е гармонического осциллятора остается постоянной. Докажем это утверждение. Полная механическая энергия Е складывается из кинетической Ek и потенциальной Ep энергий Е = Ek + Ep (7) Кинетическая энергия является мерой движения и для материальной точки (или поступательного движения твердого тела) определяется по формуле Ek = где m – масса колеблющейся точки, V – скорость ее движения. Потенциальная энергия определяется состоянием тела или его положением в пространстве. Для упругих (или квазиупругих) сил потенциальная энергия тела определяется по формуле Ep = где k – коэффициент упругости, Х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия. Подставив уравнения (1) и (3) соответственно в уравнения (9) и (8) и, используя соотношение k = m ω 2, а также то, что сумма Cos2(ω t + φ o) + Sin2(ω t + φ o) = 1, получим выражение для полной механической энергии гармонических колебаний: Е =
Под действием этой возвращающей силы F = mgSinφ (11 ) Зависимость возвращающей силы от смещения, характеризуемого углом φ, в уравнении (11), нелинейная, следовательно, и колебания маятника будутне гармоническими. Однако, в случае малых колебаний маятника, когда угол отклонения φ столь мал (до 5о), что Sinφ =
Следовательно, при малых углах отклонения φ, на маятник будет действовать квазиупругая сила и он будет совершать гармонические колебания. Найдем период таких гармонических колебаний математического маятника. Для этого запишем второй закон Ньютона в скалярном виде: mα = где α =
Так как в этих уравнениях величины g и L всегда положительные, то их отношение можно приравнять к квадрату некоторой величины ω 2: ω 2 =
|