Задачи для самостоятельного решения. Предел последовательности.

Предел последовательности.

1. Последовательность задается двумя первыми элементами и рекуррентным соотношением для любого n³ 1. Найдите и. .

2.Докажите, что последовательность является бесконечно большой.

3.Докажите, что последовательность является бесконечно малой.

4.Покажите, что неограниченная последовательность не является бесконечно большой.

5. Докажите, что последовательность имеет своим пределом число 0.

6. Докажите, что

7. Докажите, что если , то .

8.Известно, что последовательность расходится, а последовательность имеет конечный предел а¹ 0. Что можно сказать о сходимости последовательности .

9. Найдите:

1) ; 2) ; 3) ;

4) 5)

10.Найдите

Предел функции.

1). Используя определение предела функции по Коши, доказать, что:

а). . б). . в).

2). Доказать, что функция

f(x)=

в точке х=0 не имеет предела.

3). Доказать, что функция

f(x)=

в точке х=1 не имеет предела.

1) Доказать, что функция

f(x)=

в точке х=0 имеет предел.

1). Используя определение предела функции по Коши, доказать, что

а). , б). в). , г). .

2). Докажите, что:

а). при х®0, б). при х®1.

3). Верно ли равенство при х®0, если ?

4).Верно ли равенство при х®0, если ?

5). Докажите, что при х®0.

6). Сравните следующие бесконечно большие функции при х®∞:

а). и ;

б). и ;

с). и .

7). Найти пределы: ; ; ;

; ; ; ;

;

Производные.

1). Используя определение производной, найти производные следующих функций

в точке :

; ; ; ; ; ;

2). Найти дифференциалы функций в точках:

, х = -1; , х = е;

, х = -1; , х = 2;

3). Найти приближенно ; ; ; ; .

4). Найти производные следующих функций:

; ; ;

; ; ; ;

Дифференцирование обратных функций.

; ; ;

Дифференцирование сложной функции.

; ; ; ;

; ;

Производные показательно-степенных функций

; ; ; ; ; ;

;

Производные неявных функций

; ; ; ;

Производные высших порядков

Найти производные n-го порядка от следующих функций:

; ; ; ;

Найти производные и заданные параметрически:

а). ;

б). ;

в). ;

Разложить по формуле Маклорена до функции:

; ; ; ;

Раскрытие неопределенностей.

Найти:

; ;

; ;

; ; ;

; ;

Найти точки максимума и минимума функций:

; ; ;

Построить графики следующих функций:

; ; ; ;

Экзаменационные вопросы

1. Понятие множества и логическая символика
2. 3 Простейшие операции над множествами
3. 4 Логическая символик а
4. 5. Числовые множества
5. Промежутки действительных чисел
6. Грани числовых множеств
7. Комплексные числа
8. Свойства операций сложения и умножения
9. Геометрическая интерпритация сложения и вычитания комплексных чисел
10. Геометрическая интерпритация умножения и деления комплексных чисел
11. Метод математической индукции
12. Понятие функции
13. Способы задания функций
14. Классификация элементарных функций
15. Понятие сложной и обратной функции
16. Основные элементарные функции
17. Функция одного натурального аргумента
18. Арифметические операции над числовыми последовательностями
19. Ограниченные и неограниченные последовательности
20. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
21. Связь бесконечно малых с бесконечно большими последовательностями
22. Сходящиеся последовательности
23. Основные свойства сходящихся последовательностей
24. Арифметические операции с последовательностями имеющими предел
25. Предельный переход в неравенствах
26. Монотонные последовательности
27. Число е
28. Предел функции
29. Геометрическая интерпретация предела функции
30. Односторонние пределы x® x₀ ± 0
31. Предел функции при x® ± ¥
32. Предел функции при x®¥
33. Признаки существования предела функции
34. Непрерывность функции
35. Арифметические действия над непрерывными функциями
36. Замечательные пределы
37. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства
38. Бесконечно большие функции
39. Cравнение бесконечно малых функций
40. Выделение главной части
41. Непрерывность функции

42. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

1. Геометрическая интерпретация непрерывности функции в точке

44. Арифметические действия над непрерывными функциями

1. Классификация точек разрыва функций
2. Основные свойства непрерывных функций
3. Производная
4. Задачи, приводящие к понятию производной