Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение. Внутренняя точка называется точкой строгого локального максимума функции , если существует такая окрестность точки , что и , выполняется неравенство .

Если , то точка нестрогого локального максимума.

Если , то точка строгого локального минимума.

Если , то точка нестрогого локального минимума.

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума функции .

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный (нестрогий) экстремум, то выполняются условия

, .

Замечание. Условия теоремы является необходимыми, но не достаточными. Например, функция дифференцируемая в точке :

, , ,

но экстремума в точке нет, так как в любой окрестности точки (0, 0) функция принимает как положительные, так и отрицательные значения (см. рис.). Если все частные производные в точке равны нулю, то такая точка называется стационарной точкой функции .

Теорема (достаточный признак экстремума). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки , тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если ,

то – точка минимума функции .

2. Если ,

то – точка максимума функции .

3. Если , то в точке экстремума нет.

Пример. Для функции найти точки экстремума или показать, что их нет.

Решение. Определим стационарные точки:

,

.

Решая систему, получаем две точки М₁ и М₂ .

Для точки М₁ , получаем

,

.

Следовательно, в точке М₁ экстремума нет.