Теоретичні відомості. ТЕМА: Розв’язування задач на комп’ютері.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №23

ТЕМА: Розв’язування задач на комп’ютері.

МЕТА: навчитись використовувати функції MS Excel для розв’язування задач.

Теоретичні відомості

Математичні функції в Excel – найчисленніша група функцій. За їхньою допомогою дуже легко проводити різноманітні розрахунки.

TPAHCП (TRANSPOSE) – Транспонує матрицю.

МОПРЕД (MDETERM) – Повертає визначник матриці, що зберігається в масиві.

МОБР (MINVERSE) – Повертає обернену матрицю (матриця зберігається в масиві).

МУМНОЖ (MMULT) – Повертає добуток матриць, що зберігаються в масивах.

Електронні таблиці представляють собою природне середовище для роботи з матрицями, оскільки в комірках таблиць зручно розташовувати матричні елементи. Excel може виконувати операції з матрицями не тільки використовуючи команди меню, але й за допомогою вбудованих функцій. Завдяки цьому відбувається автоматичний перерахунок результатів матричних операцій при зміні вхідних даних. В Excel терміном масив називається набір значень, розташованих у вигляді рядків і стовпців, який представляє собою єдину структуру. Наприклад, математичні операції, що виконуються над одним елементом масиву, насправді виконуються над всіма його елементами. Функції, призначені для виконання операцій з масивами, або такі, що повертають масиви, називаються функціями масиву. У математиці впорядкований у вигляді рядків і стовпців набір значень називається матрицею. Матриця, що складається з одного рядка або з одного стовпця, називається вектором. В Excel ці обидва об’єкти розглядаються як масиви. В програмі Excel є усі можливості для виконання стандартних матричних операцій, проте ці операції реалізуються по різному: − для додавання (віднімання) двох матриць і множення матриці на число застосовують стандартні арифметичні функції, що здійснюють операції над вмістом комірок; − транспонування, множення і обернення матриць виконується за допомогою функцій масиву.

В Excel множення матриць А та В можна виконати за допомогою спеціальної функції для роботи з масивами. MУMHOЖ(мaccив1; мaccив2). Спочатку в електронну таблицю вводимо елементи матриці A і B. Далі виділимо діапазон, де буде розташована матриця результату С. Вводимо функцію масиву =MУMHOЖ(мaccив1; мaccив2), що здійснює множення матриць. Далі вказуємо діапазони комірок, в яких міститься перша матриця А і друга матриця В. Аргументи функції (вказані діапазони) відокремлюються крапкою з комою. Щоб завершити введення формули множення матриць, треба натиснути комбінацію клавіш < Ctrl+Shift+Enter> Дана комбінація використовується для введення функції =MУMHOЖ(B4: C6; B8: E9) у всі комірки діапазону результату. Натиснення однієї клавіші < Enter> приведе до введення формули лише в одну комірку, і в електронній таблиці буде відображено лише один елемент матриці-добутку С. Після натиснення клавіатурної комбінації < Ctrl+Shift+Enter> у комірках діапазону відобразиться результат.

В Excel транспонування матриці можна здійснити двома способами: переставляючи окремо кожне значення матриці або за допомогою функції масиву TPAHCП(). Перший спосіб простіший, проте його використання не дозволяє виконати автоматичний перерахунок результатів при зміні елементів матриці. Скористаємося другим способом транспонування матриці. Введемо в електронну таблицю в діапазон комірок матрицю A розмірності.

Виділимо діапазон комірок, де буде розміщено результат. Вводимо функцію масиву =TPAHCП(мaccив), що здійснює транспонування матриці. Далі вказуємо діапазон комірок, в якому міститься матриця А. Щоб завершити введення формули транспонування матриці, треба натиснути комбінацію клавіш < Ctrl+Shift+Enter>.

Знаходження оберненої матриці для даної називається оберненням цієї матриці. Операція обернення матриць може бути застосована лише до квадратних неособливих (несингулярних) матриць. Оберненою матрицею по відношенню до даної називається матриця, множення на яку даної матриці як справа так і зліва дає одиничну матрицю.

В Excel обернення матриці можна здійснити за допомогою функції масиву MOБP(). Введемо в електронну таблицю в діапазон комірок матрицю A розмірності 3× 3. Виділимо діапазон комірок, де буде розміщено результат.

Вводимо функцію масиву =MOБP(мaccив). Далі вказуємо діапазон комірок, в якому міститься матриця А, яку обертають. Щоб завершити введення формули обернення матриці, треба натиснути комбінацію клавіш < Ctrl+Shift+Enter>.

Для обчислення визначника матриці в Excel використовується функція масиву MOПPEД(). Введемо в електронну таблицю в діапазон комірок матрицю A розмірності 3× 3. Встановимо табличний курсор в комірку тaблицi, де буде розміщено результат. Вводимо функцію масиву =MOПPEД(мaccив), що здійснює обчислення визначника матриці. Далі вказуємо діапазон комірок, в якому міститься матриця А, для якої знаходиться визначник. Щоб завершити введення формули обчислення визначника, треба натиснути комбінацію клавіш < Ctrl+Shift+Enter>. Зауважимо, що якщо деяка комірка діапазону порожня або містить текст, то функції MOБP(), MOПPEД() повертають значення помилки #ЗHAЧ!. Значення помилки повертається також у випадку, коли вказаний діапазон комірок містить матрицю з різною кількістю рядків і стовпців. Вказані функції виконують обчислення з точністю приблизно 16 значущих цифр, що може в деяких випадках привести до невеликих похибок заокруглення. Зокрема, визначник сингулярної матриці відрізняється від нуля на 10^-16.

Розв’язання систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

Запишемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) у вигляді матричного рівняння AxХ=В,

де А – матриця коефіцієнтів системи, В – вектор-стовпець її вільних членів, Х – вектор-стовпець невідомих. Якщо матриця А – неособлива, тобто її визначник det A≠ 0, то існує обернена матриця A^-1. Множачи обидві частини рівняння зліва на A^-1, одержимо

A^-1хAхХ= A^-1хВ

або

Х= A^-1хВ.

В результаті отримано вектор, компонентами якого є шукані невідомі.