Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Комплексные числа
|
|
С понятием множества многие из вас хорошо знакомы из школьного курса математики. Вам известно, что понятие множества является первичным в математике и через другие понятия не определяется; что множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита, а элементы множества малыми буквами; над множествами можно осуществлять операции объединения, пересечения и вычитания. Те кому, это необходимо, могут повторить (изучить) основные сведения по теории множеств, используя, [1], стр. 5 -7 или [2], стр. 9-13 (смотрите список литературы, рекомендуемой для подготовки к экзамену).
Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Как правило, при изучении математики в школе, ограничиваются использованием следующих числовых множеств:
- множество натуральных чисел;
- множество целых чисел;
- множество рациональных чисел;
R – множество действительных или вещественных чисел,
Множество действительных чисел R, чаще всего, вводится либо как множество бесконечных десятичных дробей [2], стр.13-27, либо как некоторая совокупность, где определены взаимосвязанные операции сложения, умножения, сравнения чисел по величине и которые обладают определенного рода непрерывностью [1], стр. 16-33. С формальной точки зрения оба подхода одинаковы, так как если число является действительным по первому определению, то оно действительно и по второму определению, и наоборот. Доказательство этого факто изложено в [2], стр. 27-28. С философской точки зрения более приемлемым является второй подход, так как числа – абстракции, выражающие количественные отношения реального мира, а десятичные дроби – символы, их представляющие. С другими подходами к определению действительного числа можно ознакомиться в Математической энциклопедии, т.2, стр. 74-78.
Рассмотренные выше множества связаны соотношениями:
. (1)
Однако, для практических приложений этих множеств недостаточно. Рассмотрим простейшее квадратное уравнение: 
. Как известно, дискриминант этого уравнения 
. И, следовательно, на множестве действительных чисел данное уравнение решений не имеет.
Если ввести число 
, называемое мнимой единицей и обладающее свойством:
, (2)
то дискриминант рассматриваемого выше уравнения можно представить в виде: 
. Это позволит представить решение рассматриваемого уравнения в виде: 
.
Решения уравнения представляют собой числа новой структуры, которые называются комплексными числами. Таким образом, мы имеем еще одно множество чисел. Введем определение этого множества с учетом сложившейся системы обозначений.
Определение 1. Множество чисел 
называется множеством комплексных чисел.
Обозначение: 
Для каждой части комплексного числа 
используется специальное название и обозначение:
- действительная часть комплексного числа z,
- мнимая часть комплексного числа z,
(от латинских слов: realis – действительный, imaginarius – мнимый).
Допускается запись комплексных чисел и в виде: 
. Очевидно, что
. (3)
Заметим, что 
- действительное число, 
- чисто мнимое число, 
.
При введении любого множества сначала определяют, какие элементы этого множества считаются равными.
Определение 2. Комплексные числа 
и 
называются равными, если 
т.е. если у них совпадают действительные и мнимые части.
Обозначение: 
.
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Определение 3. Суммой комплексных чисел и называется число z, определяемое по правилу: 
.
Обозначение: 
или
. (4)
Пример 1. Если 
, то
.
Определение 4. Разностью комплексных чисел 
и 
называется число z, такое что 
.
Обозначение: 
.
Теорема 1. Если 
, то
. (5)
Доказательство. Пусть является разностью чисел 
и .
Тогда из определения разности (смотрите определение 4) следует, что . Из определения суммы (смотрите определение 3) следует, что 
, учитывая, что это число должно быть равно числу , получаем систему 
Решая систему, получаем нужный результат: 
Что и требовалось доказать.
Пример 2. Если , то
.
Определение 5. Произведением комплексных чисел и называется число z, определяемое по правилу: 
.
Обозначение: 
или
. (6)
Определение 6. Частным от деления комплексного числа на комплексное число называется число z, такое что 
.
Обозначение: 
.
Теорема 2. Если , где 
; то
. (7)
Доказательство. Пусть - частное отделениячисла на число . Тогда, по определению частного (смотрите определение 6), следует, что . Из правила умножения комплексных чисел (смотрите определение 5) следует, что 
. Так как это число должно быть равно , получаем систему:
(8)
Умножая первое уравнение системы (8) на 
, а второе уравнение на 
(это позволит уравнять коэффициенты при неизвестной х), получим систему (9):
(9)
Вычитая из второго уравнения системы (9) первое уравнение, имеем:
, 
, 
.
Для определения неизвестной х, умножаем первое уравнение системы (8) на , а второе уравнение на , получаем систему (10):
(10)
Складывая уравнения системы (10), имеем:
, 
, 
.
Теорема доказана.
Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами.
Теорема 3. Для любых 
:
1) 
- коммутативность;
2) 
- ассоциативность;
3) 
- коммутативность;
4) 
- ассоциативность;
5) 
- дистрибутивность.
Доказательство (проведите самостоятельно).
Данные свойства аналогичны свойствам операций сложения и умножения на множестве действительных чисел, поэтому на множестве комплексных чисел остаются справедливыми все правила проведения тождественных преобразований и формулы сокращенного умножения, справедливые на множестве действительных чисел.
Это дает возможность при проведении расчетов с комплексными числами не использовать формулы (6) и (7) для определения произведения и частного комплексных чисел, а рассматривать их как биномы (двучлены) и применять, привычные правила раскрытия скобок и приведения подобных членов, учитывая, что 
, 
, 
….
В частности, практические правила определения произведения и частного выглядят так. Если 
, то
Пример 3. Если , то
Определение 7. Комплексное число 
называют комплексным числом, сопряженным числу 
.
Обозначение: 
или
. (11)
Следовательно, чтобы определить частное от деления на (
), достаточно числитель и знаменатель дроби 
умножить на число, сопряженное .
Определение 8. Модулем комплексного числа называется число, определяемое по правилу 
.
Обозначение: 
или
. (12)
Теорема 3. Для любого комплексного числа
. (13)
Доказательство. 
.
Рассмотренная форма записи комплексного числа называется алгебраической формой записи комплексного числа. А приведенные выше формулы (4) – (7) для выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел называются правилами выполнения действий над комплексными числами, представленными в алгебраической форме.
Заметим, что каждому комплексному числу можно поставить в соответствие пару чисел 
и наоборот. Это дает возможность для следующих двух вариантов геометрической интерпретации комплексных чисел.
1 способ (как точки координатной плоскости). Зафиксируем на плоскости прямоугольную систему координат, обозначив начало координат О, а оси соответственно ОХ и ОУ (рисунок 1). Каждому комплексному числу поставим в соответствие точку Р с координатами (рисунок 2). Получающаяся в этом случае плоскость называется комплексной плоскостью, ось ОХ –действительной осью, ось ОУ – мнимой осью.
Рисунок 1 – Прямоугольная система Рисунок 2 – Изображение числа z
координат в виде точки
Пример 4. Изобразить на комплексной плоскости числа 
, 
, 
, 
.
Согласно правилу числам 
необходимо поставить в соответствие точки 
. Результат представлен на рисунке 3.
Рисунок 3 – Изображение чисел Рисунок 4 – Изображение числа z
в виде радиус-вектора точки
2 способ (в виде радиус-вектора точки). В этом случае, зафиксировав на плоскости прямоугольную систему координат (рисунок 1), каждому комплексному числу ставят в соответствие вектор 
, т.е. радиус-вектор точки 
(рисунок 4).
Заметим, что модуль вектора 
по величине равен , т.е. модулю комплексного числа . Вводя обозначение:
, (14)
получаем:
. (15)
Рисунок 5 – Аргумент z Рисунок 6 - Треугольники
Определение 9. Угол 
(рисунок 5), образованный радиус-вектором (
) с положительным направлением оси ОХ(точнее угол поворота положительного направления оси ОХ до совмещения с радиус-вектором ), называется аргументом числа z). Положительным считается направление обхода против хода часовой стрелки/
Обозначение: 
.
Для 
аргумент не определяется. Так как для 
аргумент можно определить лишь с точностью до 
, то выделяют главное значение аргумента , как правило, это значения 
, хотя встречаются ситуации, когда выбирают 
.
Обозначение: 
Очевидно, что
(16)
Пусть у комплексного числа 
. Для получения связи между и 
рассмотрим сначала случай, когда 
, т.е. когда радиус-вектор располагается в первой четверти.
Рассматривая треугольники OLP и OPM (рисунок 6), где L – основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось ОY, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось ОХ, и учитывая, что 
, как накрест лежащие при параллельных прямых, получаем:
; 
.
Аналогичные результаты будут иметь место и для остальных значений j (проверить самостоятельно).
Следовательно, для любого комплексного числа , 
имеют место соотношения (17):
(17)
где r определяется по формуле (15),
(18)
Используя формулы (17), получаем, что
.
Определение 9. Представление комплексного числа в виде 
, где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа z.
Пример 5. Представить число комплексное число 
в тригонометрической форме.
На практике, как правило, применяются два алгоритма: аналитический или геометрический (графический).
1 способ (аналитический). В этом случае сначала определяют модуль комплексного числа: 
; затем, используя формулы (18) определяют 
. С помощью которых однозначно определяется главное значение аргумента из промежутка : 
. Это означает, что 
.
Заметим, что найдя модуль комплексного числа 
, его можно было преобразовать так: 
, откуда сразу следует, что , и нет необходимости использовать формулы (18).
2 способ (геометрический). Отмечаем на комплексной плоскости точку P (1; 1) и радиус-вектор 
(рисунок 7).
Рисунок 7 – Геометрическая Рисунок 8 – Треугольники
интерпретация числа
Обозначив точкой L основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось OY, точкой М – основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на ось ОХ, получим квадрат OLPM со стороной 1. Длина диагонали ОР квадрата, равна модулю вектора 
, и, следовательно, модуль комплексного числа равен длине диагонали квадрата, т.е. 
. Главное значение аргумента числа совпадает с величиной угла 
, а угол между диагональю квадрата и стороной квадрата равен 
, следовательно, 
. Таким образом, 
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел упрощает вид формул для выполнения операций умножения, деления и возведения в степень.
Теорема 4. Если 
, где 
, то
1) 
; (19)
2) 
; (20)
3) 
(21)
Доказательство. Формулы (19) и (20) легко доказать, используя правила выполнения соответствующих операций для чисел, представленных алгебраической форме.
1)
2)
Формула (21) доказывается методом математической индукции. Суть этого алгоритма заключается в следующем: на первом шаге проверяется основание для проведения индукции, т.е. справедливость утверждения при n = 2; на втором шаге выдвигается предположение о справедливости утверждения при n = k; на третьем шаге, с учетом выдвинутого предположения, доказывается справедливость утверждения при n = k + 1.
При доказательстве формулы (21) алгоритм реализуется следующим образом.
1 шаг. При 
, используя формулу (19), получаем:
,
т.е. формула (21) остается верной.
2 шаг. Предположим, что формула верна при 
, т.е.
.
3 шаг. При 
т.е. формула сохраняет свой вид, следовательно, утверждение – верно.
Пример 6. Если 
, 
, то
Следствие 1. Если , где , то
1) 
; (22)
2) 
; (24)
3) 
; (25)
4) 
; (26)
5) 
; (27)
6) 
. (28)
Очевидно, что равенства (26) – (28) следует рассматривать с точки зрения равенства множеств или с точностью до 
. Формулы (22) и (24) с помощью метода математической индукции можно обобщить для любого числа множителей и делителей. Из (21) следует еще одна интересная формула, называемая формулой Муавра.
Следствие 2 (формула Муавра)
. (29)
Определение 10. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется число 
, такое что 
.
Обозначение: 
.
Теорема 5. Для любого комплексного числа z , представленного в тригонометрической форме 
, где 
, существует ровно n корней n -й степени, которые могут быть определены по формуле:
, (30)
где 
- арифметическое значение корня, к последовательно принимает значения 
.
Доказательство. Пусть число является корнем n -й степени из числа z и в тригонометрической форме имеет вид: 
, где 
. Тогда, 
.
Так как , получаем, что 
Откуда следует, что 
, причем корень понимается в арифметическом смысле – как неотрицательное действительное число, так как по определению модуля комплексного числа 
; 
.
Представив 
в виде 
; нетрудно заметить, что, при , получаются различные комплексные числа, которые для удобства обозначим 
(в соответствии с выбираемым значением к).
;
; ….,
.
Числа, получающиеся при остальных значениях к, будут совпадать с одним из уже полученных чисел , так аргументы этих чисел будут отличаться от аргументов выписанных чисел на число, кратное 
. В частности,
.
Самостоятельно проверьте, 
, 
.
В общем случае, при 
имеем:
Что и является доказательством данного утверждения. Теорема доказана.
Замечание. Из последней фразы доказательства теоремы 5 видно, что при использовании формулы (30) вместо набора можно брать любой набор из n подряд расположенных целых чисел. Например, 
или 
.
На комплексной плоскости корни n -й степени из комплексного числа , где , располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса , с центром в начале координат, угол поворота от одного числа к другому равен 
.
Пример 7. Найти и изобразить на комплексной плоскости 
.
Решение. Число 
. Для перехода к тригонометрической форме воспользуемся геометрическим методом. Построив вектор 
(рисунок 9), нетрудно заметить, что 
, главное значение аргумента 
.
Рисунок 9 – Геометрическая интерпретация Рисунок 10 –Расположение корней числа 1
Следовательно, 
. Применяя формулу (30), получаем:
, 
, т.е.
На комплексной плоскости данные числа располагаются в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 1 (рисунок 10).
Помимо тригонометрической формы записи в некоторых приложениях используется показательная форма записи комплексного числа, которая основа на использовании формулы Эйлера:
. (31)
Число , где , в этом случае может быть представлено так:
, (32)
это и есть показательная форма записи комплексного числа z.
Правила выполнения операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня в этом случае приобретают вид.
Теорема 6. Если 
, то
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
Существует также матричное представление комплексных чисел. С этой интерпретацией можно ознакомиться по математической энциклопедии.
|