Решение. Сначала вычислим определитель матрица А.

Сначала вычислим определитель матрица А.

Он отличен от нуля, следовательно, у матрицы существует обратная матрица и для её определения достаточно определить алгебраические дополнения к элементам.

;

;

;

.

Согласно формуле (2),

.

Замечание. Как видно из рассмотренного примера особой необходимости в формуле (3) нет, нужно только правильно расставить алгебраические дополнения к строкам, разместив их в столбцы.

Пример 2. Решите матричное уравнение: .

Решение. Данное уравнение можно решить двумя способами.

1 способ. Заметив, что матрица Х – квадратная матрица второго порядка, вводим четыре неизвестных , соответствующих её элементам: , и, расписывая произведение матриц, стоящих в левой части исходного равенства:

,

получаем:

,

что приводит нас к системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

Данная система распадается на две системы с двумя неизвестными:

и решая которые получаем:

.

2 способ. Введем обозначения: и , тогда исследуемое уравнение примет вид:

. (4)

(смотрите расчеты в примере 1), следовательно, у неё существует обратная матрица, поэтому, умножая обе части равенства (4) слева на получаем, что

,

,

.

Матрицу мы уже определили выше (см. Пример 1): .

Следовательно,

.

В практических приложениях достаточно часто используются свойства обратной матрицы, которые представлены в теореме 4.

Теорема 4 (свойства обратной матрицы)

1) . (5)

2) . (6)

3) . (7)

4) , (8)

для невырожденных матриц А и В одного порядка.

5) . (9)