![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Следствие 1. - линейное подпространство L. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Доказательство. Утверждение является очевидным, так как автоматически выполняются как условия определения, так и условия теоремы 1. Определение 2. Множество Следствие 2. Доказательство. Проведите самостоятельно. Следствие 3. Если Доказательство (К, стр. 202). Пусть
Аналогично, Замечание. Если линейное подпространство М задается как линейная комбинация векторов Более того, всякое линейное подпространство конечномерного линейного пространства порождается конечной системой векторов, причем, если оно не является нулевым, то в нем можно выбрать базис, причем число векторов в этом базисе не превышает размерности исходного линейного пространства. Размерность нулевого подпространства полагают равной нулю. Это позволяет сформулировать следующее следствие. Следствие 4. Если Задание 2. Докажите следствия 2 и 4. Следствие 5. Если Доказательство. Достаточно взять любые к линейно независимых векторов пространства L и рассмотреть множество их линейных комбинаций.
Пусть Определение 3. Множество Обозначение: Определение 4. Множество Обозначение: Следствие 6. Если Доказательство. Доказательство проведите самостоятельно. Задание 3. Докажите следствие 6.
Следствие 7. Если
т.е. Доказательство (К, стр. 203).Для доказательства формулы (1) поступим следующим образом. Зафиксируем произвольным образом какой-нибудь базис В этом случае, согласно определению пространства Для доказательства справедливости формулы (1) достаточно доказать, что векторы Предположим противное, т.е. что векторы – линейно зависимы, тогда найдется нетривиальный набор коэффициентов
Тогда
Так как левая часть равенства (3) – линейная комбинация векторов подпространства
так и по базису пространства
С другой стороны, так как вектор одновременно принадлежит
Из (4) и (6) следует, что
Так как векторы
Из (8) следует, что в этом случае исходное равенство (2) приобретает вид:
Так как векторы
Из (8) и (10) следует, что равенство (2) возможно только при тривиальном наборе коэффициентов. Значит, предположение о линейной зависимости векторов
Замечание. Следствие 7 доказано в предположении, что размерность пересечения
|