Линейные преобразования

Пусть задано линейное пространство L над полем действительных чисел.

Определение 1. Правило или соответствие А, которое ставит в соответствие единственный элемент , называется преобразованием пространства L.

Вектор у в этом случае называется образом вектора х при преобразовании А и обозначается: или . Мы будем использовать второй вариант обозначения. Вектор x в этом случае называется прообразом вектора у.

Замечание. Нетрудно понять, что преобразование – функция, определенная на L.

Определение 2. Преобразование А называется линейным, если

1) ;

2) и .

Теорема 1. В конечномерном линейном пространстве размерности n каждому линейному преобразованию можно поставить в соответствие единственную квадратную матрицу порядка n, вид которой зависит от базиса.