Тема Системы Массового Обслуживания

§1 Основные понятия СМО

Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную роль играют многократно выполняемые однотипные задачи. Математической теорией, изучающей такие задачи, является теория МО (или теория очередей).

Толчком для её развития послужили труды датского учёного А.К. Эрланга (1878-1929), который в начале ХХ в. применял методы теории вероятностей к решению проектирования и эксплуатации телефонных станций.

В качестве примеров СМО можно привести привести:

· Банки различных типов (коммерческие, инвестиционные, ипотечные, инновационные, сберегательные)

· Страховые организации (государственные, акционерные общества, компании, фирмы, ассоциации, кооперативы)

· Налоговые инспекции

· Аудиторские службы

· Различные системы связи (в т.ч. телефонные станции)

· Автозаправ. станции

· Предприятия и организации сферы обслуживания (магазины, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, ремонтные мастерские, больницы)

· Компьютерные сети

· Системы сбора, хранения и обработки информации

· Военные системы (в т.ч. ПВО)

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств (каналов) обслуживания. Это м.б. приборы, лица, выполняющие определённые операции (кассиры, операторы, парикмахеры), линии связи, автомашины, железнодорожные пути, бензоколонки и т.д. СМО м.б. одноканальные или многоканальные. СМО характеризуется определённой структурой, которая определяется составом и порядком расположения приборов каналов, а также функциональностью связями между этими приборами.

Например, система состоять из параллельно связанных приборов (простейший случай), последовательно расположенных приборов (более сложный случай) или же иметь ещё более сложную сетевую структуру.

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого последовательного потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью нерегулярно, а в случайные моменты времени.

Обслуживания заявок, в общем случае, также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное время, которое зависит от многих случайных, порой неизвестных нам, причин.

После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки.

Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО: в некоторые моменты времени на входе могут скапливаться заявки, в другие моменты – недогрузка СМО.

Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо " становятся" в очередь, либо покидают СМО не обслуженными.

Схема СМО

Во всякой СМО можно выделить следующие основные элементы:

1) Входящий поток заявок;

2) Очередь;

3) Каналы обслуживания;

4) Выходящий поток обслуженных заявок.

§2 Основные характеристики СМО.

Каждая СМО обладает эффективностью функционирования (пропускной способностью), позволяющая справляться с потоком заявок.

Предметом изучения теории массового обслуживания является СМО.

Цель теории массового обслуживания-выработка рекомендаций по, рациональному построению СМО, рациональной организации их работы, регулированию потока заявок для обеспечение высокой эффективности функционирования СМО.

Для достижения этой цели ставятся задачитеории, массового обслуживания, состоящие, в установлении зависимостей эффективности функционирования СМО от её организации: характера потока заявок, числа каналов, их производительности и правил работы СМО.

В качестве характеристик эффективности функционирования СМО можно выбрать три основные группы показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО:

· Абсолютная пропускная способность СМО- среднее число заявок, которое сможет обслужить СМО в единицу времени;

· Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших за это время заявок.

· Средняя продолжительность периода занятости СМО.

· Коэффициент использования СМО – средняя доля времени, в течениe которого СМО занята обслуживанием заявок.

2. Показатели качества обслуживания заявок:

- Среднее время ожидания заявки в очереди.

- Среднее время пребывание заявки в СМО.

- Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

- Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

- Закон распределения времени пребывания заявки в СМО

- Среднее число заявок, находящихся в очереди

- Среднее число заявок, находящихся в СМО.

3. Показатели эффективности функционирования пары " СМО – потребитель"

Где под " потребителем" –понимают всю совокупность заявок, или некий их источник, например: средний доход, приносимый СМО в единицу времени и т.п.

Сведения из ТВ

Опр. 1. Вероятность Р(А) события А есть отношение ,

m – Число благоприятствующих событию А элементарных исходов в данном опыте.

n – Общее число исходов.

Опр. 2. Случайным процессом, (случ. функций) называется соответствие, при котором каждому значению аргумента (в данном случае – моменту из промежутка времени, проводимого опыта) ставится в соответствие случайная величина (в данном случае – состояние СМО).

Опр. 3. Случайной величиной – называется величина которая в результате опыта может принять одно, но неизвестное заранее, какое именно, числовое значение из данного числового множества.

Опр. 4. Случайный процесс, протекающий в СМО, называется Марковским (процессом без последствия, без памяти) если вероятность любого состояния СМО в будущем зависит только от её состояния в настоящем и не зависит от её состояний в прошлом.

Опр. 5 Поток заявок (событий) – последовательность заявок (событий), наступающих одно за другим в какие-то заранее неизвестные, случайные моменты времени.

Опр.6. Поток событий, обладающий свойствами:

· Отсутствия последствия ( двух непересекающихся промежутков времени, число событий, наступающих за один них, не зависит от числа событий, наступающих за другой) и

· Ординарностью (вероятность наступления за малый промежуток времени более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток времени одного события).

· Стационарностью. Поток наз.стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются со временем. В частности, для стационарного потока верятность попадания того или иного числа событий на участок длины τ зависит только от длины участка, но не от места на числовой оси, где этот участок расположен.

называется пуассоновским.

Основной задачей ТМО (теория массового обслуживания) является определение для различных типов СМО количественных показателей, характеризующих качество обслуживания в зависимости от заданной структурой входящего потока, структуры системы, длительности обслуживания, от принятой дисциплин обслуживания.

Решение этой задачи позволяет найти в системе " узкие места", определить их влияние на эффективность обслуживания, дать предложение о совершенствовании структуры системы и дисциплины обслуживания.

Для решения этих вопросов должны привлекаться МО: ЗЛП, НП, ЦП, ТИ, ДП и т.д.

Математическое изучение функционирования СМО упрощается если протекающий в ней случайный процесс является Марковским.

Чтобы случайный процесс был Марковским, Необх. и Достаточно., чтобы все потоки событий, под воздействие которых происходят переходы системы из состояния в состоянии, были пуассоновскими. В СМО потоками событий являются потоки заявок, потоки " обслуживания" заявок и т.д.

Можно выделить СМО с отказами и с ожиданием.

СМО с отказами: заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает " отказ", покидает СМО и в дальнейшем не оказывает на работу системы никакого влияния.

СМО с ожиданием(очередью): заявка становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из каналов.

Среди систем с ожиданием (очередью) выделяют системы с неограниченным ожиданием и системы с ограниченным ожиданием.

Неограниченным: Заявка терпеливо ждёт освобождения

канала, который примет её к обслуживанию.

Ограниченным: На длительность пребывания заявки в очереди или другим ограничением (на длину очереди, на время пребывания в СМО)