Теоретическое введение. Удар - совокупность явлений, возникающих при кратковременном приложении к телу внешних сил или при взаимодействии двух движущих­ся относительно друг друга тел

Удар - совокупность явлений, возникающих при кратковременном приложении к телу внешних сил или при взаимодействии двух движущих­ся относительно друг друга тел с момента их соприкосновения и связанных со значительным изменением скоростей тел за очень короткий промежуток времени.

Для тел, с которыми обычно имеют дело на практике, удар проте­кает в течение тысячных или даже миллионных долей секунды.

В качестве меры механического взаимодействия тел при ударе вместо ударной силы выступает ее импульс за время , т. е, величи­на

(1)

где - средняя сила удара.

При этом импульс за время удара изменяется на конечную величину , определяемую формулой (1). Из второго закона динамики следует:

где и - начальная и конечная скорости соударяющегося тела.

Процесс удара можно разбить на две фазы. Первая фаза - сжатие: центры тяжести тел сближаются. Эта фаза заканчивается в момент наи­большего сближения, когда деформации тел становятся наибольшими, а скорость сближения обращается в нуль. Кинетическая энергия тел пе­реходит при этом в потенциальную энергию деформации и частично в тепловую энергию, энергию звуковых колебаний и другие виды энергии. Вторая фаза- восстановление: потенциальная энергия деформации превращается в кинетическую энергию тел, тела начинают расходиться и в конце второй фазы соприкосновение тел прекращается.

В случае, если соударяются абсолютно упругие тела, то вся кинетическая энергия тел до удара переходит в потенциальную энергию упругой деформации в первой фазе, а во второй фазе потенциальная энергия упругой деформации полностью переходит в кинетическую энер­гию движения тел. Это так называемый абсолютно упругий удар. При этом типе удара выполняются законы сохранения импульса и механической энергии, так как система соударяющихся тел является замкнутой и силы упругой деформации, действующие при абсолютно упругом ударе, являются консервативными. (Определение замкнутой механической системы см. на стр. 32).

Законы сохранения импульса и механической энергии формулируются следующим образом.

Закон сохранения импульса. Импульс замкнутой механической системы с течением времени не меняется.

Закон сохранения механической энергии. Механическая энергия замкнутой механической системы с течением времени не меняется при условии, что силы, действующие между телами системы, консервативные.

Под импульсом и механической энергией механической системы понимают суммы импульсов и механических энергий всех тел системы.

Так как при абсолютно упругом ударе потенциальная энергия упругой деформации в начальной и конечной стадиях удара одинакова, то из закона сохранения механической энергии, следует, что суммарная кинетическая энергия тел в конце удара такая же, как и до удара.

Удар совершенно неупругих тел заканчивается на первой фазе. Такой удар называется абсолютно неупругим ударом. При этом тела после удара движутся вместе с одинаковой скоростью. При неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса, так как система является замкнутой. Закон сохранения механической энергии не выполняется вследствие того, что силы, действующие между телами при пластической деформации не являются консервативными.

Рассеяние механической энергии при ударе характеризуется коэф­фициентом восстановления относительной скорости или коэффициен­том восстановления кинетической энергии . Коэффициент восстановления относительной скорости определяется как отношение абсолют­ного значения скорости взаимного удаления центров тяжести тел в конце удара к абсолютному значению скорости их сближения до удара в проекции на общую нормаль к поверхности тел в точке их соприкосно­вения; эта нормаль называется линией удара (n-n на рис. 1):

, (2)

где , - проекции на линию удара скоростей первого и второго тела до удара;

-проекции скоростей на линию удара тех же тел в конце удара.

- центры тяжести тел.

Коэффициент восстановления кинетической энергии К_Э определяется как отношение суммарной кинетической энергии тел в конце удара к суммарной кинетической энергии тел до удара

(3)

где - суммарная кинетическая энергия тел до удара.

- суммарная кинетическая энергия тел после удара.

Величина коэффициента восстановления относительной скорости зависит от физических свойств материалов соударяющихся тел и для упругих тел в сильной степени зависит от масс соударяющихся тел. Для абсолютно упругого удара К_с = 1, для абсолютно неупругого удара К_с=О, в реальных случаях 0 < К_с < 1. При ударе стальных шаров коэффициент восстановления относительной скорости К_с =0, 56, для ша­ров из слоновой кости К_с = 0, 89, для шаров из свинца .

Различают удар прямой и косой, центральный и нецентральный. Если скорости центров тяжести тел до удара параллельны линии удара, то удар называется прямым. В противном случае - косым (рис.1).

Если при ударе центры тяжести тел лежат на линии удара, то удар называется центральным. В противном случае - нецентральным, На рис. 1 представлен косой нецентральный удар ( - скорости пер­вого и второго тел до удара).

В настоящей работе рассматривается прямой центральный удар ша­ров, подвешенных в виде маятников, причем один шар (левый) до удара покоится ().

Удар происходит в положении равновесия шаров. Следовательно, при ударе центры тяжести шаров лежат на линии удара, а скорости до удара параллельны линии удара.

Применяя к ударяющимся шарам закон сохранения импульса, можем написать:

, (4)

(для абсолютно упругого удара)

(5)

(для абсолютно неупругого удара).

Здесь - массы ударяющихся шаров,

- скорости упругих шаров после удара,

- общая скорость шаров после абсолютно неупругого удара.

В случае прямого центрального удара проекции скоростей шаров на общую нормаль к ним в месте соударения совпадает с соответствующими скоростями шаров: и т.д. (рис.1). Выражение для коэффициента восстановления относительной скорости в этом случае может быть записано в виде:

(6)

Скорости шаров, до и после удара, могут быть определены на основании закона сохранения энергии, применяемому к каждому из шаров:

(7)

где - высота первоначального положения ударяющего шара (рис.2);
- высота, на которую поднимается ударяющий (правый) шар пос­ле соударения;
- высота, на которую поднимается ударяемый (левый) шар после соударения.

Разрешив (7) относительно искомых находим:

, , (8)

Здесь - скорость правого шара до удара;

- скорости шаров после удара.