Література. 1. Пілюшенко В.Л., Шкрабак І.В., Славенко Е.І

1. Пілюшенко В.Л., Шкрабак І.В., Славенко Е.І. Наукове дослідження: організація, методологія, інформаційне забезпечення: Навчальний посібник. – К.: Лібра, 2004. – 344 с.

Заліковий модуль 3. Окремі види математичних моделей у маркетингу

Змістовий модуль 8. Оптимізаційні моделі у маркетингу.

Мета заняття: набуття навичок використання оптимізаційних моделей у процесі прийняття маркетингових рішень.

Питання до розгляду:

1. Оптимізаційні задачі у маркетингу.

2. Статична модель оптимізації прикріплення споживачів до постачальників.

3. Модель оптимального складання сумішей.

4. Модель оптимального розкрою матеріалів

5. Моделі раціонального розподілення матеріальних ресурсів

Оптимізаційними задачами в економіці називають економіко-математичні задачі, ціль яких - знаходження найкращого (оптимального) з позиції деякого критерію (критеріїв) варіанта використання ресурсів. Вирішуються такі задачі за допомогою оптимізаційних моделей методами математичного програмування.

Оптимізаційні моделі крім рівнянь або нерівностей, які описують взаємозв'язки між змінними, містять також критерій для вибору - функціонал або цільову функцію, що набирає значення в межах області припустимих рішень. Цільова функція в загальному вигляді визначається трьома моментами: керованими змінними, некерованими параметрами (що залежать, наприклад, від зовнішнього середовища) і формою залежності між ними (виглядом функції). Якщо позначитикритерій оптимальності через U, керовані змінні - X, параметри - Р, задані межі (область) зміни керованих змінних - через М, то загальний вигляд оптимізаційної моделі буде таким:

(5.1)

Задачі вигляду (5.1) розв'язуються методами математичного програмування, що включає в себе лінійне програмування, нелінійне програмування, динамічне програмування, цілочисельне програмування і т. д. Вибірметодів математичного програмування для розв'язання оптимізаційних задач визначається виглядом цільової функції, виглядом обмежень, що визначають область М, і спеціальнимиобмеженнями на керовані змінні (наприклад, вимогою щодо їх цілочисельності). Рішення задачі (5.1) звичайно називається оптимальним рішенням, або оптимальним планом.

Оптимізаційні задачі, які можуть бути зведені до задач лінійного програмування (ЗЛП), можуть бути сформульовані, наприклад, таким чином:

знайти вектор , який максимізує лінійну цільову функцію:

і задовольняє лінійним функціональним обмеженням:

і прямим обмеженням:

Значна частина економічних задач, у тому числі й у галузі маркетингу, потребує цілочисельного рішення, коли змінні величини означають кількість неподільних одиниць продукції, облад­нання тощо. В ряді випадків такі задачі вирішуються з використанням звичайних методів, наприклад симплексного, з подальшим округленням до цілих чисел або за методом Гоморі для лінійних задач цілочисельного програмування.

Розглянемо детальніше найбільш розповсюджені види оптимізаційних моделей.

Статична модель оптимізації прикріплення споживачів до постачальників. Основною математичною моделлю оптимального прикріплення споживачів до постачальників є так звана транспортна задача лінійного програмування, яка дозволяє скласти такий план прикріплення споживачів до постачальників (план перевезень), за якого загальна величина транспортних витрат є мінімальною. Цільова функція має вигляд:

при обмеженнях:

де - витрати на перевезення одиниці продукту від постачальника до споживача; - кількість продукту, перевезеного від постачальника до споживача; - кількість продукту, зосередженого у постачальника; - обсяг споживання споживача.

Обмеження означають повне задоволення попиту у всіх пунктах споживання і повне вивезення продукції від усіх постачальників. Необхідною і достатньою умовою розв’язання задачі є збереження балансу:

Модель оптимального складання сумішей. Модель може бути використана, коли процес виробництва готової продукції пов’язаний із сполученням кількох компонентів. При цьому якість готової продукції має відповідати певним вимогам при досягненні максимального економічного ефекту. У загальному вигляді задада формулюється наступним чином.

Якщо склад готової продукції включає m елементів, лімітованих величиною l_i (i-1, …, m), то для елементів, що погіршують якість продукції вводиться а_i - верхня межа присутності у суміші, а для елементів, що поліпшують якісь – нижня межа. Обсяги окремих п компонентів, які використовуються у виробничому процесі, обмежуються величиною b_j. Вміст кожного елемента у певному компоненті позначається через а_ij, вартість окремих компонентів (включаючи витрати на переробку) – через с_j, плановий обсяг виробництва – через М. Потрібно скласти таку суміш з наявних компонентів, щоб витрати на її складання були мінімальні. Цільова функція має вигляд:

при обмеженнях:

.

Модель оптимального розкрою матеріалів. Може бути застосована при складанні оптимального технологічно припустимого плану розкрою із стандартних одиниць ресурсів, за якого при виготовленні необхідного набору заготівок мінімізується загальна величина відходів крою або кількість одиниць ресурсів, які підлягають розкрою. Цільова функція задачі оптимального розкрою за одним виміром довгомірних матеріалів за критерієм мінімуму відходів матиме вигляд:

За критерієм мінімуму одиниць розкрою:

за умов:

.

Вихідними умовами для складання варіантів розкрою є такі:

Моделі раціонального розподілення матеріальних ресурсів. Може бути використана у випадках, коли перед службою маркетингу постає задача раціонального розподілення різних видів матеріальних ресурсів за умови максимізації прибутку, обсягів виробництва товарів підвищеного попиту, мінімізації виробничих та інших витрат. У загальному вигляді задача може бути сформульована так.

Обсяги m видів вихідних матеріальних ресурсів обмежені величиною а_і; і=1, …, т. З них випускається п видів продукції мінімальним обсягом b_j; j=1, …, n. Норми витрат певного ресурсу на виробництво одиниці продукції певного виду а_ij, а також прибуток, отримуваний від реалізації одиниці продукції певного виду c_j, є фіксованими і не залежать від обсягів випуску продукції. Потрібно скласти план розподілення вихідних матеріальних ресурсів, який максимізує суму прибутку від реалізації усієї продукції або мінімізує загальну собівартість виготовленої продукції. У першому випадку цільова функція буде мати вигляд:

,

у другому:

,

де s – собівартість виробництва одиниці продукції певного виду.

Обмеження на ресурси, план виробництва і тривіальні виглядають так:

Завдання для СРС.

1. Формалізація умов застосування оптимізаційних моделей.

2. Оцінка надійності і достовірності моделі.

3. Застосування MS Excel для розв’язання задач оптимізації у маркетингу

Література:

1. Пілюшенко В.Л., Шкрабак І.В., Славенко Е.І. Наукове дослідження: організація, методологія, інформаційне забезпечення: Навчальний посібник. – К.: Лібра, 2004. – 344 с.

Змістовий модуль 8. Моделювання взаємодії споживачів і виробників.

Мета заняття: набуття навичок використання математичних моделей взаємодії учасників ринкую.

Питання до розгляду:

Цільова функція споживання.

Моделювання поведінки споживачів.

Моделювання купівельного попиту.

Відповідно до задач і функцій маркетингу, розглянутих у першому розділі, маркетинг розуміється як ринкова система управління виробничою і збутовою діяльністю, за якої в основі прийняття господарських рішень лежить ринкова інформація, а обґрунтованість рішень перевіряється ринком у ході peaлізації товарів і послуг. За такого підходу початковим пунктом усього циклу підприємницької діяльності стає вивчення споживчого попиту. Розглянемо деякі питання моделювання попиту і споживання в маркетингу.

Рівень задоволення матеріальних потреб суспільства (рівень споживання) можна виразити цільовою функцією споживання U - U(Y), де вектор змінних Y ≥ 0 включає різноманітні види товарів і послуг. Ряд властивостей цієї функції зручно вивчати, використовуючи геометричну інтерпретацію рівнянь U(Y) - С, де С - параметр, що характеризує значенні (рівень) цільової функції споживання; як величина С може виступати, наприклад, прибуток або рівень матеріального добробуту.

Функції купівельного попиту - це функції, що відображають залежність обсягу попиту на окремі товари і послуги від комплексу фактів, що впливають на нього. Такі функції застосовуються в аналітичних моделях попиту і споживання і будуються на основі інформації про структуру прибутків населення, ціни на товари, склад сімей та інші фактори. Розглянемо побудову функцій попиту залежно від двох факторів: доходу і цін.

Однофакторні функції попиту від доходу широко застосовуються при аналізі купівельного попиту

y_i = f_i (Z).

де Z - доход; y_i - попит на i -й товар або послугу; f_i - тип функції.

Відповідні цим функціям криві називаються кривими Енгеля, на ім'я німецького економіста, що їх вивчав.

Той самий принцип розмежування груп товарів по типах функцій попиту від доходу використав шведський економіст Л. Торнквіст, який запропонував спеціальні види функцій попиту (функції Торнквіста) для трьох груп товарів: першої необхідності, другої необхідності, предметів розкоші.

Функція Торнквіста для товарів першої необхідності Y₁ має і вигляд:

Y₁ = a₁ Z / (Z + C₁), (3, 3)

де a₁ - верхня межа попиту; C₁ - приріст доходу.

Вона відображає той факт, що зростання попиту на ці першочергові товари зі зростанням доходу поступово сповільнюється і має межу a₁ (крива попиту асимптотичне наближується до прямої лінії y = a₁ ).

Функція Торнквіста для товарів другої необхідності У₂ має такий вигляд:

Y₂ = a₂ (Z - b₂) / (Z + C₂), (3, 4)

де Z ≥ b₂; a₂ - верхня межа попиту; b₂ - певний рівень доходу; C₂ - приріст доходу.

Попит на цю групу товарів з'являється після того, як дохід досягне величини b₂.

Функція Торнквіста для предметів розкоші Y₃ має такий вигляд:

Y₃ = a₃ Z (Z – b₃) / (z + C₃), (3, 5)

де Z ≥ b₃; a₃ > 1; b₃ - певний рівень доходу; Сз - приріст доходу.

Функція Y₃ не має межі, попит на предмети розкоші виникає після того, як дохід Z перевищить рівень b₃.

Крім розглянутих функцій, в аналітичних моделях купівельного попиту використовуються й інші функції - степеневі, S - подібні та ін.

Важливу роль в аналізі попиту відіграють коефіцієнти еластичності, які визначають, на скільки відсотків зміниться попит, якщо дохід зміниться на 1%:

або

де - коефіцієнт еластичності для i -ї групи товарів відносно доходу Z; у _і - попит на і -ту групу товарів.

Зокрема, застосовуючи (3.6) до функції Торнквіста (3.3.), отримуємо коефіцієнт еластичності:

(3.3*)

Коефіцієнт еластичності для функції (3.4):

(3.4*)

Коефіцієнт еластичності для функції (3.5):

(3.5*)

З моделі поведінки споживачів випливає, що попит на кожний товар у загальному випадку залежить від цін на всі товари (вектора Р), однак побудувати функції загального вигляду у_i = φ _i (р) дуже складно. Тому в практичних дослідженнях обмежуються побудовою та аналізом функцій попиту для окремих товарів залежно від зміни цін на цей самий товар або групу взаємозамінних товарів: у_i = φ _i (р _і).

У загальному випадку попит на окремий товар за інших рівних умов залежить від рівня цін на всі товари. Відносна зміна обсягу попиту за зміни ціни даного товару або цін інших пов'язаних з ним товарів характеризує коефіцієнт еластичності попиту від цін. Цей коефіцієнт еластичності зручно трактувати як величину зміни попиту в процентах за зміни ціни на 1 %.

У товарах еластичного попиту підвищення ціни на 1 % призводить до зниження попиту більш як на 1 %, і навпаки, пониження ціни на 1 % приводить до зростання купівлі більше як на 1 %. Якщо підвищення ціни на 1% спричиняє зниження попиту менш як на 1 %, то кажуть, що це - товар нееяастичного попиту.

Попит багато в чому визначає стратегію і тактику організації виробництва і збуту товарів і послуг; урахування попиту, обгрунтоване прогнозування його на короткострокову і довгострокову перспективу є однією з найважливіших задач служб маркетингу різних організацій і фірм.

Склад і рівень попиту на будь-який товар залежить від багатьох економічних і природних факторів. До економічних факторів належать рівень виробництва (пропозиції) товарів і послуг (позначимо цей фактор у загальному вигляді через П), рівень грошових доходів окремих груп населення (D), рівень і співвідношення цін (Р), До природних факторів належать демографічний склад населення, насамперед розмір і склад сім'ї (S), а такожзвички і традиції, рівень культури, природно-кліматичні умови тощо.

Економічні фактори дуже мобільні, особливо розподіл населення за рівнем грошових доходів. Природні ж фактори змінюються порівняно повільно і протягом невеликого періоду (до трьох - п'яти років) помітно не впливають на попит. Виняток становить демографічний склад населення. Тому в поточних і перспективних прогнозах попиту всі природні фактори, крім демографічних, доцільно враховувати узагальнено, увівши фактор часу (t).

Отже, у загальному вигляді попит визначається як функція наведених вище факторів:

Y = f (П, D, P, S. t). (3.7.)

При цьому, оскільки найбільше впливає на попит фактор доходу, багато які розрахунки попиту і споживання здійснюються у вигляді функції від грошового прибутку на душу населення:

Y = f (D). (3.8.)

Прогнозування попиту на невеликий період часу здійснюють з використанням так званих структурних моделей попиту. Ці моделі будують виходячи з того, що для кожної економічної групи населення за статистичними бюджетними даними може бути розрахована притаманна їй економічна структура споживання.

або

(3.9.)

де п - кількість груп сімей, віднесених до одного рівня доходу; Di - середній дохід сім'ї i -ї групи; r_i = r (Di) - структура попиту в i -й групі; Wi = r (Di) - питома вага i -й групи в їх загальні кількості.

Структурні моделі найбільше використовуються при прогнозуванні попиту та споживання, вони уможливлюють порівняння структур попиту в окремих групах, по регіонах, для розрахунку «споживчих кошиків» тощо.

Отже, структурні моделі розглядають попит як функцію тільки розподілу споживачів за рівнем прибутку. Маючи дані про відповідні структури политу, розраховані за даними статистики бюджетів, і про частоти розподілу споживачів за рівнем прибутку, можна розрахувати загальну структуру попиту.

Поряд зі структурними моделями в плануванні та прогнозуванні попиту використовуються конструктивні моделі попиту. В основу таких моделей покладено рівняння бюджету населення, які виражають очевидну рівність загального обсягу споживання і суми добутків кількості кожного спожитого товару на його ціну.

У практиці планування і прогнозування попиту крім структурних і конструктивних моделей застосовуються аналітичні моделі попиту і споживання, які будуються у вигляді рівнянь, що характеризують залежність споживання товарів і послуг від їх кількості та ціни з подальшим урахуванням певного рівня доходу. Іншими словами, в аналітичних моделях функціональна залежність приймає цілком конкретний вигляд. Такі моделі можуть бути однофакторними та багатофакторними і використо­вуються в розрахунках прожиткового мінімуму, раціональних бюджетів тощо.

Завдання для СРС.

1. Структура аналітичних моделей попиту і споживання.

2. Структура і призначення конструктивних моделей попиту.