Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Численное дифференцирование ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
В инженерной практике довольно часто приходится встречаться с обыкновенными дифференциальными уравнениями при решении различных прикладных задач. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется выражение вида F(X, Y, Y', Y”,..., Y n-1, Y n) = 0, (1) где Х - независимая переменная; Y - искомая функция от Х; Y', Y»,..., Yn -производные порядка 1, 2,..., n. Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1), называется порядком дифференциального уравнения. Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение 1-го порядка y'= f(x, y) (2). Основная задача, относящаяся к этому уравнению, есть задача Коши: найти решение дифференциального уравнения (2) в виде у=у(х), удовлетворяющее начальному условию Y(Xo)=Yo, т.е. требуется найти интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку М(Хо, Yo). Для нахождения решения дифференциального уравнения (1) необходимо задать такое количество начальных условий, какое соответствует порядку старшей производной, а именно задать значения Yo=Y(Xo); Yo'=Y'(Xo),..., Y0 n-1 = Yn-1 (Xo) (3) Уравнение (1) называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид Y(n) =f(X, Y, Y', Y»,..., Yn-1) (4) Если дифференциальное уравнение (1) разрешимо относительно старшей производной, то его можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка заменой на неизвестную функцию Р1(х), у» на Р2(х) и т.д. Таким образом, имеем y'=P1, P1'=P2, P2'=P3, ... P'n-1 = f (x, y, P1, P2,..., Pn-1), причем Y(Xo)=Yo P1(Xo)=Yo' P2(Xo)=Yo» ......... P n-1(Xo)=Yon-1. При решении инженерных задач чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, общее решение которых не выражается в аналитическом виде. Поэтому возникает необходимость применять те или иные методы, дающие приближенное решение задачи. 6.1 Метод Эйлера
Метод численного решения дифференциального уравнения 1-го порядка y'=f(x, y) (7) с начальным условием Y(Xo)=Yo основан на разложении решения в ряд Тейлора в h-окрестности точки Хо: Y1 = Y(x+h) = Y(Xo) + h*Y'(Xo) + (h2/2)*Y»(Xo) +... При отбрасывании всех членов ряда, содержащих производные 2-го и высших порядков, получим Y1 = Yo + h*f(Xo, Yo), где f(x, y) - правая часть уравнения (7). Пользуясь значением Y1 из разложения y(x) в h –окрестности точки Х1=Хо+h, получим Y2=Y1+h*f(X1, Y1), аналогично продолжая для следующей Х i+1 точки, получим Y i+1 = Yi+h*f(Xi, Yi). (8) Если дано уравнение 2-го порядка Y»=f(x, y, y') (9) c начальными условиями Y(Xo)=Yo и Y'(Xo)=Yo', то такое уравнение можно свести к системе двух уравнений 1-го порядка у'=P (10) P'=f(x, y, y'), причем Y(Xo)=Yo, (11) P(Xo)=Po=Yo'. Тогда приближенные значения функций у и Р в точке можно вычислить Yi+1 = Yi+h*Pi (12) Pi+1 = Pi+h*f(Xi, Yi, Pi), где f(Xi, Yi, Pi) - правая часть уравнения (9). При достаточно малой величине шага h метод Эйлера дает решение с большой точностью, т.к. погрешность решения близка к h2. Разновидностью рассмотренного выше метода Эйлера, известного в литературе также как метод Эйлера-Коши, является метод Эйлера-Коши с итерациями. Он заключается в вычислении на каждом шаге начального значения Y0i+1=Yi+hF(xi, Yi). Затем с помощью итерационной формулы Yкi+1=Yi + + [ F(xi, Yi) + F(xi+1, ] решение уточняется. Итерации проводят до тех пор, пока совпадает заданное число цифр результата на двух последних шагах итераций. Погрешность метода составляет примерно h3. Обычно число итераций не должно превышать 3-4, иначе нужно уменьшить шаг h. Модифицированный метод Эйлера второго порядка реализуется следующими рекуррентными формулами: Yi+1 = Yi + hF(xi + h/2, Y*i+1/2), где Y*i+1/2 = Yi + hF(xi , Yi)/2. Метод дает погрешность порядка h3 и имеет меньшее время вычислений, поскольку вместо нескольких итераций производится вычисление только одного значения Y*i+1/2. Метод трапеций – одна из модификаций метода Эйлера второго порядка. Он реализуется применением на каждом шаге формулы Yi+1 = Yi + 0.5(K1+K2) где K1 = h F(xi, Yi); K2 = h F(xi+h, Yi+K1) и дает погрешность порядка h3. Этот метод относится к общим методам Рунге-Кутта.
|