Задача 3. 4.3.1. При расчетах цепей переменного синусоидального тока используются те же законы и методы, что и при расчете цепей постоянного тока

4.3.1. При расчетах цепей переменного синусоидального тока используются те же законы и методы, что и при расчете цепей постоянного тока, но все электрические величины – токи, ЭДС, напряжения, сопротивления, - должны быть записаны в комплексной форме. В связи с необходимостью выполнения при расчетах различных математических действий: сложения/вычитания, умножения/деления, - рекомендуется использовать как алгебраическую, так и показательную формы записи комплексных чисел.

= а + jb =A e , (4.3.1)

где А – модуль величины,

а и b – ее действительная и мнимая части.

А = (4.3.2)

= arc tg b/a (4.3.3)

для перехода от показательной формы записи к алгебраической нужно использовать выражения

а = А cos (4.3.4)

b = A sin (4.3.5)

4.3.2.При составлении расчетной схемы необходимо:

а) заменить полные сопротивления составляющими их элементами: активными сопротивлениями, индуктивностями и емкостями;

б) источники тока источниками ЭДС.

Ветви с источниками тока, равными нулю, на схему не наносятся.

4.3.3. Для определения линейной частоты f следует использовать связывающее ее с угловой частотой соотношение

= 2пf (4.3.6)

4.3.4. Расчет токов в ветвях следует вести в изложенной ниже последовательности

а) Вычислить сопротивления реактивных элементов

ХL = L (Ом) (4.3.7)

ХC = 1/ C (Ом) (4.3.8)

б) Записать в комплексной форме заданные величины, используя приведенные в п. 4.3.1 формулы.

Например:

- ЭДС дана в виде Е = 100 В; = 65⁰; тогда показательная форма этой ЭДС имеет вид

= 100 е ^j65 ,

а перевод ее в алгебраическую форму выполняется по (4) и (5);

- сопротивление ветви состоит из резистора R, индуктивного ХL и емкостного ХС сопротивлений

R = 3 Ом; ХL = 9 Ом; ХС = 5 Ом. Тогда удобней первоначальную запись комплексного сопротивления выполнить в алгебраической форме

Z = R + j (ХL – ХС) = 3 + j (9 – 5) = 3 + j 4

c последующим ее переводом в показательную форму по (4.3.1) – (4.3.3).

Результаты расчетов занести в таблицу 6.

Таблица 6 - Результаты расчета заданных величин и параметров схемы

в алгебраической и показательной форме.

в) Составить контурные уравнения для своей расчетной схемы замещения, используя выражение ЭДС и сопротивлений комплексными числами. Для упрощения операций умножения и деления при составлении уравнений предпочтительней использовать показательную форму комплексов.

г) Решить полученную систему уравнений и, найдя контурные токи, определить токи в ветвях, напряжения на каждом комплексном сопротивлении и их элементах. Результаты расчетов занести в таблицу 7. Количество строк в таблице зависит от числа найденных величин.

Таблица 7 - Результаты расчета токов и напряжений.

Правильность расчетов может быть проверена по уравнениям, составленным по первому закону Кирхгофа.

4.3.5. Найти комплекс мощности S источника питания как произведение комплекса ЭДС источника на сопряженный комплекс тока , даваемого этим источником.

S = , (4.3.9) где сопряженный комплекс тока равен комплексу тока, у которого знак мнимой части изменен на противоположный. Например, = 3 + j4, тогда сопряженный комплекс в алгебраической форме = 3 - j4.

При использовании показательной формы необходимо в сопряженном комплексе изменить знак показателя.

Заменой комплекса тока на его сопряженный комплекс учитывается угол сдвига фаз между ЭДС и током для источников питания (напряжением и током для приемников).

Полная мощность равна модулю комплекса мощности, или

S = Е I, (4.3.10)

а действительная и мнимая части комплекса мощности соответствуют активной и реактивной мощности, или

Р = S cos ; (4.3.11)

Q = S sin , (4.3.12)

где - угол сдвига по фазе между ЭДС и током источника питания.

Суммарную мощность всех действующих в цепи источников питания проще найти, записав комплексы мощностей каждого источника в алгебраической форме.

Результаты определения мощностей показать в таблице, форму которой составить самостоятельно.

4.3.6. Для составления баланса активных мощностей следует определить активную мощность, потребляемую активными сопротивлениями (резисторами) n-й ветви цепи

Pпотр. = I n Rn, (4.3.13)

где In – действующее значение тока ветви, А;

Rn – активное сопротивление ветви, Ом.

Потребляемая цепью активная мощность должна быть равна активной мощности, отдаваемой всеми источниками питания (см. п. 4.3.5).

4.3.7. Уравнения мгновенных значений заданных ЭДС имеют вид

е = Еm sin ( t + ) (4.3.14)

где - угловая частота, - начальная фаза каждой ЭДС (см. задание).

4.3.8. Построение векторной диаграммы.

Для данной на рис.12 схемы выполнен расчет, результаты которого отражены в общем виде в таблице 7а, где действительные части комплексов токов и напряжений обозначены I' и U', а мнимые I" и U".

Рис. 12. Схема однофазной цепи

Таблица 7а - Результаты расчета токов и напряжений

Искомая величина	Алгебраическая форма	Показательная форма	Действующее значение
Токи ветвей, А	1	I'1 + jI" 1	I1 e	I1
2	I'2 + jI" 2	I2 e	I2
3	I'3 + jI" 3	I3 e	I3
4	I'4 + jI" 4	I4 e	I4
5	I'5 + jI" 5	I5 e	I5
6	I'6 + jI" 6	I6 e	I6

Продолжение таблицы 7а

Напряжения на сопротивлениях, В	1 = R1	U'1 + j U" 1	U1 e	U1
2 = C2	U'2+ jU" 2	U2 e	U2
3	U'3 + jU" 3	U3 e	U3
R3	U'R3 + jU" R3	UR3 e	UR3
C3	U'C3 + jU" C3	UC3 e	UC3
4 = R4	U'4 + jU" 4	U4 e	U4
5	U'5 + jU" 5	U5 e	U5
R5	U'R5 + jU" R5	UR5 e	UR5
5	U'L5 + jU" L5	UL5 e	UL5
6 = R6	U'6 + jU" 6	U6 e	U6

На рис. 13 дана векторная диаграмма токов и напряжений в цепи, при построении которой соблюдалась следующая последовательность:

1. Строятся оси комплексной плоскости: действительных величин (+1) – горизонтально, мнимых величин (j) – вертикально.

2. Исходя из значений модулей токов и напряжений и размеров поля листа, отведенного для построения диаграммы, выбираются масштабы тока mI и напряжения mU. Например, при использовании формата А4 (размеры 210х297 мм) при наибольших модулях тока 40 А и напряжения U = 500 В приняты масштабы: mI = 5 А/см, mU = 50 В/см.

3. С учетом принятых масштабов mI и mU определяется длина каждого вектора, если диаграмма строится с использованием показательной формы его записи; при использовании алгебраической формы находятся длины проекций векторов на оси действительных и мнимых величин, т.е. длины действительной и мнимой частей комплекса.

Например, для записанных в комплексной форме тока, I = 40 е = 20 + j34, 6 и напряжения U = 500 е = 433 + j 250 В:

- длина вектора тока /I / = 40 А/ 5 А/см = 8 см; длина его действительной части I = 20 А / 5 А/см = 4 см, длина его мнимой части I = 34, 6 А / 5 А/см = 6, 9 см;

- длина вектора напряжения / U / = 500 В / 50 В/см = 10 см; длина его действи-

тельной части U = 433 В / 50 В/см = 8, 66 см; длина его мнимой части U =

= 250 В / 50 В/см = 5 см.

Результаты определения длин векторов, их действительных и мнимых частей нужно отразить в таблице 7б.

Таблица 7б - Длины векторов тока и напряжения, их действительных и

мнимых частей

Величина	Масштаб, 1/см	Длина вектора, см	Длина действительной части, см	Длина мнимой части, см
Токи ветвей	1	mI= 5 А/см
2
3
4
5
6
ЭДС и напряжения	1	mU=50 В/см
2
6
1= R1
R1
2 = C2
3
R3

Продолжение таблицы 7б

ЭДС и напряжения	C3	mU=50 В/см
4 = R4
5
R5
L5
6 = R6

4. На комплексной плоскости строятся вектора всех ЭДС, напряжений и токов. Для их построения можно использовать обе формы записи комплексов ЭДС, напряжений и токов.

Например, вектор тока , комплекс которого использован в п. 3 в качестве примера, строится по показательной форме следующим образом: от оси (+1) под углом 30 , т.е. против часовой стрелки, откладывается отрезок длиной 8 см; по алгебраической форме его можно построить, отложив по оси (+1) отрезок длиной 4 см, а по оси (j) отрезок длиной 6, 96 см, концы этих отрезков являются координатами конца вектора .

На векторной диаграмме (рис. 13) использованы оба способа построения векторов: векторы токов построены по показательной форме записи, а векторы ЭДС и напряжений по алгебраической.

5. Правильность расчета цепи и построения векторной диаграммы проверяется по взаимному расположению векторов, а также их сложением. Так, например,

для используемой в качестве примера схемы (рис. 12):

- векторы токов 1, 4 и 6 и напряжений 1, 4 и 6 совпадают по фазе;

- вектор напряжения R5 должен совпасть по фазе с вектором I5, а вектор L5 опережает вектор тока 5 на 90 ;

- сумма токов узла В 1 и 5 соответствии с первым законом Кирхгофа должна быть равна току 6;

- по второму закону Кирхгофа для контура 111 при сложении векторов напряжений 3, 6 и 5 должен получиться вектор 6.

Таким образом может быть выполнена проверка для всех ветвей, узлов и контуров.

Рис. 13. Векторная диаграмма токов и напряжений для схемы на рис. 12.