Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методический материалСтр 1 из 2Следующая ⇒
Практическое занятие 2-3 Функции многих переменных Дифференциал. Частные производные высших порядков Методический материал 1) Найти частные производные функции . Вычислить их значения в точке . Решение. Считается постоянным, находим : . При нахождении фиксируется аргумент , т.е. . Значения производных в точке следующее: ; . 2) Найти значения частных производных в точке функции . Решение. Находим частные производные, используя формулу дифференцирования сложной функции ; . Подставляя координаты точки , получим , . 14) Найти , если . Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, считая и постоянными, получим . 3) Доказать, что функция удовлетворяет уравнению . Решение. Находим частные производные: ; . Подставляя и в данное уравнение: , , 2=2; полученное тождество показывает, что функция удовлетворяет данному уравнению. 4) Найти вторые частные производные функции . Решение. Находим первые производные: , . Дифференцируя каждую из полученных производных по и по , получим вторые частные производные: , , . Функция непрерывна в любой точки плоскости , кроме точки , и в каждой точки непрерывности выполняется равенство .. 5) Найти , если . Решение. Дифференцируем данную функцию по и затем дважды по : , , . 6) Найти полный дифференциал функции . Решение. Находим частные производные: ; . По формуле имеем . Полный дифференциал можно найти также и по другому, используя правила дифференцирования: . 7) Найти , если . Решение. Для данной функции , поэтому . 8) Высота конуса Н=10см, радиус основания см. Как изменится объем конуса при увеличении высоты на 2мм и уменьшении радиуса основания на 2мм? Решение. Объем конуса . Изменение объема приближенно заменим его дифференциалом . Подставив значения (в см) , , ; , получим . Таким образом, объем конуса уменьшится примерно на 15, 7 см . 9) Вычислить приближенно число . Решение. Рассмотрим функцию . Данное число есть приращенное значение этой функции в точке при , . Дифференциал данной функции . Его значение в точке при данных приращениях , поэтому .
|