Задача 1. По семи территориям Уральского района за 2002 г

По семи территориям Уральского района за 2002 г. известны значения двух признаков (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы.

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F -критерий Фишера.

Решение:

1а. Для расчета параметров a и b линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

По исходным данным рассчитываем: ,

Таблица 1.2

	y	х	ух	x2	y2			Ai
	68, 8	45, 1
	61, 2	59, 0
	59, 9	57, 2
	56, 7	61, 8
	55, 0	58, 8
	54, 3	47, 2
	49, 3	55, 2
Итого	405, 2	384, 3
Среднее значение	57, 89	54, 90
σ	5, 74	5, 86	-	-	-	-	-	-
σ 2	32, 92	34, 34	-	-	-	-	-	-

Уравнение регрессии: __________________________

Интерпретация уравнения регрессии: С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров __________ в среднем на _______%-ных пункта.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Вывод: Связь _______________.

Определим коэффициент детерминации:

Вывод: Вариация результата на _________% объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

Вывод: В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на ______%.

Рассчитаем F -критерий:

Вывод: Полученное значение указывает на необходимость ____________ гипотезу Но о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

1б. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где

Расчеты можно вести в табл. 1.3.

Таблица 1.3

	Y	X	YX	Y2	X2				Ai
Итого
Среднее значение						-	-
σ			-	-	-	-	-	-	-
σ 2			-	-	-	-	-	-	-

Рассчитаем C и b:

Получим линейное уравнение: ___________________.

Выполнив его потенцирование, получим:

_____________________________________________

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи - индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации :

=

Вывод: Характеристики степенной модели указывают, что она ____________________линейной функции описывает взаимосвязь.

1в. Построению уравнения показательной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

где

Расчеты можно вести в табл. 1.4.

Таблица 1.4

	Y	х	Yх	Y2	X2				Ai
Итого
Среднее значе­ние						-	-
σ			-	-	-	-	-	-	-
σ 2			-	-	-	-	-	-	-

Значения параметров регрессии А и В составили:

Получим линейное уравнение: ____________________. Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

_____________________________________.

Тесноту связи оценим через индекс корреляции ρ _ху

Вывод: Связь _____________.

= ______%, что говорит о ___________ ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах.

Вывод: Показательная функция _________, чем степенная описывает изучаемую зависимость.

1г. Уравнение равносторонней гиперболы

линеаризуется при замене: . Тогда .

Расчеты можно вести в табл. 1.5.

Таблица 1.5

	y	z	yz	z2	y2				Ai
Итого
Среднее зна­чение						-	-
σ			-	-	-	-	-	-	-
σ 2			-	-	-	-	-	-	-

Значения параметров регрессии a и b составили:

Получим уравнение: ____________________________

Индекс корреляции:

ρ _ху=

= ______%,

По уравнению равносторонней гиперболы получена ___________ оценка тесноты связи: р_ху = ________ (по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями). остается на ____________ уровне.

2. Рассчитаем F_факт=

Сравним его с F_табл=

Вывод: