Теорема о сингулярном разложении матрицы

Лекция 27. Сингулярное разложение матрицы

Теорема о сингулярном разложении матрицы.

Связь между сингулярным и спектральным разложениями матрицы.

Чувствительность собственных значений (сингулярных чисел) и собственных векторов (сингулярных векторов) к возмущающим воздействиям

Теорема о сингулярном разложении матрицы

Пусть — -матрица с элементами , (). Для нее справедливо разложение, называемое сингулярным:

, (1)

где ― матрицы размерности и соответственно, , , при этом являются ортогональными, т.е. удовлетворяют соотношениям: , где ― единичная матрица соответствующей размерности. Столбцы матрицы и матрицы называют соответственно левыми и правыми сингулярными векторами (СНВ) матрицы , величины ― сингулярными числами (СНЧ), а сингулярными тройками . При рассматривается сингулярное разложение матрицы .

Разложение (1) может быть представленно в форме внешних произведений:

.

В общем случае сингулярное (спектральное) разложение матрицы определяется неоднозначно. Вспомним, что вектор называется лексикографически положительным, если его первая ненулевая компонента положительна. Назовем сингулярное разложение (1) нормальным, если столбцы матрицы лексикографически положительны.

Теорема. Невырожденная матрица имеет единственное нормальное сингулярное разложение, если ее СНЧ попарно различны:

.