Связь между сингулярным и спектральным разложениями матрицы

Сингулярное разложение матрицы общего вида тесно связано со спектральными разложениями симметричных матриц

, , .

Рассмотрим эту связь подробно.

Утверждение 1. Пусть есть сингулярное разложение -матрицы в соответствии с (1). Если симметричная матрица с СЗ и СВ , т.е. есть спектральное разложение , то в сингулярном разложении матрицы , , причем .

Утверждение 2. Пусть есть сингулярное разложение -матрицы в соответствии с (1). Собственными значениями симметричной матрицы являются , а правые СНВ — ортонормированные СВ .

Доказательство. Для матрицы имеет место соотношение:

. (2)

Равенство (2) очевидно представляет спектральное разложение матрицы , причем — ее СВ, а диагональные элементы — СЗ.

Утверждение 3. Пусть есть сингулярное разложение -матрицы в соответствии с (1). Собственными значениями симметричной матрицы являются . Левые СНВ — ортонормированные СВ , соответствующие СЗ .

Доказательство. Аналогично доказательству утверждения 2.

Утверждение 4. Пусть , где — квадратная -матрица, причем есть сингулярное разложение в соответствии с (1). Тогда СЗ матрицы — это числа , а соответствующие нормированные СВ имеют вид .

Доказательство. Поскольку матрица симметричная, то

. (3)

Из (3) вытекает, что — блочно-диагональная матрица, а значит ее спектр является объединением спектров блоков. Спектры блоков , — это . Обозначим спектральное разложение матрицы

.

Поскольку

, (4)

т.е. (4) — спектральное разложение , то СЗ — это квадраты СЗ , а значит СЗ определяются как , и первая часть утверждения доказана.

Для доказательства второй части проверим непосредственно, что вектор является СВ матрицы :

. (5)

Рассмотрим составляющие правой части (5):

. (6)

Аналогично (6) показывается, что

. (7)

Учитывая (6) и (7), из (5) вытекает

,

из чего по определению следует, что — СВ матрицы , отвечающий СЗ , который после нормирования становится равным .

Опираясь на установленную связь между сингулярным и спектральным разложениями соответствующих матриц, можно преобразовать алгоритмы решения симметричной проблемы СЗ в алгоритмы вычисления сингулярного разложения. Это преобразование выполняется не прямолинейно, поскольку сингулярное разложение обладает дополнительной структурой, которая часто может быть использована для повышения эффективности и точности алгоритмов.