Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Связь между сингулярным и спектральным разложениями матрицы
Сингулярное разложение матрицы общего вида тесно связано со спектральными разложениями симметричных матриц
, , .
Рассмотрим эту связь подробно. Утверждение 1. Пусть есть сингулярное разложение -матрицы в соответствии с (1). Если симметричная матрица с СЗ и СВ , т.е. есть спектральное разложение , то в сингулярном разложении матрицы , , причем . Утверждение 2. Пусть есть сингулярное разложение -матрицы в соответствии с (1). Собственными значениями симметричной матрицы являются , а правые СНВ — ортонормированные СВ . Доказательство. Для матрицы имеет место соотношение:
. (2)
Равенство (2) очевидно представляет спектральное разложение матрицы , причем — ее СВ, а диагональные элементы — СЗ. Утверждение 3. Пусть есть сингулярное разложение -матрицы в соответствии с (1). Собственными значениями симметричной матрицы являются . Левые СНВ — ортонормированные СВ , соответствующие СЗ . Доказательство. Аналогично доказательству утверждения 2. Утверждение 4. Пусть , где — квадратная -матрица, причем есть сингулярное разложение в соответствии с (1). Тогда СЗ матрицы — это числа , а соответствующие нормированные СВ имеют вид . Доказательство. Поскольку матрица симметричная, то
. (3)
Из (3) вытекает, что — блочно-диагональная матрица, а значит ее спектр является объединением спектров блоков. Спектры блоков , — это . Обозначим спектральное разложение матрицы
.
Поскольку , (4)
т.е. (4) — спектральное разложение , то СЗ — это квадраты СЗ , а значит СЗ определяются как , и первая часть утверждения доказана. Для доказательства второй части проверим непосредственно, что вектор является СВ матрицы : . (5)
Рассмотрим составляющие правой части (5):
. (6)
Аналогично (6) показывается, что
. (7)
Учитывая (6) и (7), из (5) вытекает
,
из чего по определению следует, что — СВ матрицы , отвечающий СЗ , который после нормирования становится равным . Опираясь на установленную связь между сингулярным и спектральным разложениями соответствующих матриц, можно преобразовать алгоритмы решения симметричной проблемы СЗ в алгоритмы вычисления сингулярного разложения. Это преобразование выполняется не прямолинейно, поскольку сингулярное разложение обладает дополнительной структурой, которая часто может быть использована для повышения эффективности и точности алгоритмов.
|