Примеры матричных норм.

1. - норма Фробениуса;

2. - max-норма;

3. ;

4. ;

5. - спектральная матричная норма, где - максимальное собственное значение матрицы .

Определение. Пусть - векторная норма на пространстве . Матричная норма на , определяемая формулой

,

называется подчиненной, или согласованной с рассматриваемой векторной нормой.

Определение. Матрица называется положительно определенной, если для выполняется:

.

Пример. Показать, что матрица является положительно определенной. Поскольку , то произвольный вектор из предыдущего определения берется из пространства : . Рассмотрим конкретный вид для заданной матрицы:

откуда вытекает, что исходная матрица является положительно определенной.

Критерий Сильвестра положительной определенности матрицы. Для того, чтобы матрица была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы определители всех ее главных подматриц были положительными.

Для предыдущего примера у матрицы есть две главные подматрицы: , при этом , что говорит о положительной определенности матрицы в соответствии с критерием Сильвестра.