Уравнения установившегося режима электрической сети. Уравнения узловых напряжений.

Установившимся режимом (УР) электрической цепи при постоянных источниках тока и напряжения называют такое состояние, при котором ток в любой ветви и напряжение в любом узле остаются неизменными в течение сколь угодно длительного времени.

Линейными уравнениями УР наз-ся линейные алгебраические уравнения, описывающие УР цепей, содержащих только линейные пассивные элементы (R, X, L, C не зависящие от I и U в них) и постоянные по модулю и фазе источники тока.

При расчёте УР с помощью уравнений узловых напряжений известны сопротивления и проводимости всех пассивных элементов электрической сети. Кроме того, заданы постоянные величины всех источников тока во всех узлах, кроме балансирующего по P и Q, и все ЭДС, а также напряжение базисного узла. Необходимо определить напряжения n узлов и токи в m ветвях. Для простоты расчёта полагают что базисный и балансирующий узлы совпадают.

В общем случае при U_б 0 система уравнений узловых напряжений для сети постоянного тока имеет вид:

(1)

где - неизвестное узловое напряжение; n – число узлов сети;

- собственная проводимость к-го узла, равна сумме проводимостей всех ветвей, соединённых с узлом к;

- взаимная провод-ть взаимная проводимость узлов к и j;

- задающий ток к-го узла, равен алгебраической сумме токов источников, подключённых к узлу к. При наличии в цепи источников ЭДС в ток к-го узла I_k входит алгеб. сумма произведений ЭДС ветвей, соединённых с узлом к, на проводимость этих ветвей.

Для решения (1) необходимо принять один из узлов за базисный по напряжению и балансирующий по току (может быть один и тот же узел). Напряжение в этом узле U_б известно, а ток неизвестен и равен сумме токов остальных узлов. Токи в остальных узлах заданы, а напряжения неизвестны. Тогда

Матрицы собственных и взаимных проводимостей узлов и вектор-столбцы токов в узлах и узловых напряжений:

Общий случай в матричной форме:

(2)

Матричная форма записи для цепи переменного тока (все величины – комплексные числа):

.

При решении на ЭВМ уравнения узловых напряжений для сети перемен. тока приводят к сис-ме действительных ур-й порядка 2n, где n – число независимых узлов. Матрицы и вектор-столбцы комплекс. элементов представляют в виде сумм матриц и вектор-столбцов с действит. элементами:

(3)

или

В матричной форме

Для сети переменного тока (2) имеет вид:

тогда согласно (3) при U_б^’’=0

Матрица собственных и взаимных проводимостей узлов Y_у симметрична, т.е Y _kj= Y _jk. Её важнейшим свойством является большое количество нулевых элементов (слабая заполненность).

Матрица соединений ветвей и узлов (первая матрица инциденций) – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу узлов n+1, а число столбцов – числу ветвей m. Она обозначается следующим образом:

М_Σ =

При этом номера строк i соответствуют номерам узлов, а номера столбцов j – номерам ветвей. Элементы данной матрицы могут принимать одно из трёх значений: m_ij=+1, если узел i является начальной вершиной ветви j; m_ij=-1, если узел i является конечной вершиной ветви j; m_ij=0, если узел I не является вершиной ветви j.

Матрица узловых проводимостей может быть определена следующим образом:

где М _Т – транспонированная мат-ца соед-ний ветвей и узлов М;

Z _В и Y _В – диагональные матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей.

Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают УР эл. сис-мы при задании нелинейных источников тока (генераторы с заданной мощностью, либо нагрузки потребителей, заданные статической характеристикой или постоянной мощностью). Тогда узловой ток при заданной мощности нагрузки потребителя или генератора:

где S_k ^* =const - сопряжённая мощность трёх фаз к-го узла; U _k^* - сопряжённый комплекс междуфазного напряжения; I – нелинейный ток.

При задании нагрузки статической характеристикой:

Нелинейные уравнения узловых напряжений при задании постоянной мощности нагрузки потребителей и генераторов в узлах для сис-мы перемен. тока:

Матричная форма записи:

где Y _у – комплексная матрица собственных и взаимных узловых проводимостей; I (U) – вектор-столбец задающих токов, U _б – заданное напряжение балансирующего узла.

Ур-я узловых напряжений часто используются в форме баланса мощности. Узловые уравнения баланса мощности для системы переменного тока:

В матричной форме:

где - диагональная матрица, к-й диагональный элемент которой равен сопряжённому комплексу напряжения к-го узла; S ^* - вектор-столбец сопряжённых мощностей в узлах, к-й элемент которого равен заданной сопряжённой мощности к-го узла.

Нелинейные уравнения УР в общей форме можно записать в виде сис-мы неявных ф-ий:

W(X, Y)=0,

Где W – вектор-ф-я; X и Y – вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.