Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методы Зейделя и Ньютона для решения уравнений УР.
Метод Зейделя относится к простейшему итерационному методу решения систем линейных уравнений УР. Рассмотрим простую итерацию для понимания сути применения итерационных методов. Рассмотрим систему уравнений узловых напряжений третьего порядка: (1) Предполагая, что диагональные элементы не равны 0, разрешим первое Ур-е системы относительно U1, второе – относительно U2, третье – относительно U3. Получим эквивалентную (1) систему: (2) где Зададим начальные приближения неизвестных Подставим их в правые части (2), получаем первые приближения Вычисление первого приближения неизвестных соответствует первому шагу итерационного процесса. Полученные i-е приближения используются для расчёта последующих (i+1)-х приближений. (3) Введём матрицу и вектор-столбцы: Диагональные элементы матрицы В равны 0, а недиагональные совпадают с коэффициентами систем (2) или (3). Учитывая правило умножения матриц запишем системы (2) и (3) в матричной форме: (4) Элементы матрицы В – безразмерные величины, а элементы вектора b имеют размерность напряжения. Итерационный процесс, определяемый выражением (3) или (4), называется простой итерацией. Метод Зейделя представляет собой незначительную модификацию простой итерации. Отличие заключается в том, что найденное (i+1)-е приближение (k-1)-го напряжения сразу же используется для вычисления следующего, k-го напряжения . Таким образом для (1) итерационный процесс метода Зейделя описывается след. выражением: (5) По методу Зейделя (i+1)-е приближение k-го напряжения вычисляется так: (6) Применение метода Зейделя для решения нелинейных ур-й узловых напряжений аналогично (6). (7) где - нелинейная функция, описывающая итерационный процесс Зейделя. В расчётах на ЭВМ при замене комплексных переменных на действительные по методу Зейделя определяются активные и реактивные напряжения узлов: (8) где - составляющие комплексной нелинейной ф-ии , описывающей итерационный процесс Зейделя. Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений УР медленная. Для ускорения сходимости применяют ускоряющие коэффициенты, или метод неполной релаксации. Обозначим напряжение k-го узла, определённое на (i+1)-ом шаге по обычным итерационным формулам (7). Ускоренное (i+1)-е приближение значения напряжения k-го узла определяется по формуле где - поправка по напряжению k-го узла на (i+1)-м шаге; t – ускоряющий коэффициент. Напряжение , вычисленное с ускорением, принимается в качестве исходного при расчёте следующего, (i+2)-го шага. В случае t=1 получим обычный итерационный процесс метода Зейделя. Основные достоинства метода: лёгко программируется и требует малой оперативной памяти. Недостаток – в медленной сходимости. Особенно плохо сходится (в ряде случаев даже расходится) при расчёте УР систем с устройствами продольной компенсации, с трёхобм. трансформаторами и автотранс. и др. Метод Ньютона. Данный метод пригоден для решения обширного класса нелинейных ур-й. Идея метода состоит в послед. замене на каждой итерации сис-мы нелин. ур-й некоторой лин. сис-мой, решение которой даёт более близкие к решению нелинейной сис-мы значения неизвестных, чем исходное приближение. Поясним идею на примере решения ур-я (1) Решение ур-я точка , в которой кривая проходит через 0. Зададим начальное приближение . Заменим (1) в окрестности точки линейным уравнением (2) левая часть – два первых члена разложения ф-ии в ряд Тейлора. Решив (2), определим поправку к начальному приближению: (3) За новое приближение неизвестного примем (4) Аналогично определяем следующие приближения: Итерационный процесс сходится, если становится близкой к нулю или (5) где - заданная величина невязки. Геометрическая интерпретация Один шаг метода Ньютона сводится к замене кривой на прямую которая является касательной к этой кривой в точке . Поэтому метод наз-ют также методом касательных. Приближение - точка пересечения касательной к кривой в точке с осью x.
Сис-ма нелинейных ур-й с действительными переменными: (6) Запишем в матричной форме (7) где - вектор-столбец; - вектор функция. Матрица Якоби (матрица производных сис-мы ф-ий по переменным ): (8) Сис-ма линеаризованных ур-й в матричном виде: (9) Решение узловых ур-й баланса мощности для к-го узла: (10) Уравнения баланса мощностей для k-го узла при переменных U и :
где Матрица Якоби: т.е элементы матрицы – это частные производные небалансов активной и реактивной мощностей по модулям и фазам напряжений узлов. Решение ур-й узловых напряжений баланса токов для к-го узла:
Элементы матрицы Якоби – это производные активных и реактивных небалансов токов по активным и реактивным напряжениям узлов. Таким образом, метод ньютона в расчёте УР сходится быстрее и надёжнее метода Зейделя. Но он требует больше памяти при расчёте на ЭВМ, чем метод Зейделя. 2- 4. Регулирование напряжения в электрических сетях. Компенсация реактивной мощности.
|