![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методы Зейделя и Ньютона для решения уравнений УР.
Метод Зейделя относится к простейшему итерационному методу решения систем линейных уравнений УР. Рассмотрим простую итерацию для понимания сути применения итерационных методов. Рассмотрим систему уравнений узловых напряжений третьего порядка:
Предполагая, что диагональные элементы не равны 0, разрешим первое Ур-е системы относительно U1, второе – относительно U2, третье – относительно U3. Получим эквивалентную (1) систему:
где
Введём матрицу и вектор-столбцы: Диагональные элементы матрицы В равны 0, а недиагональные совпадают с коэффициентами систем (2) или (3). Учитывая правило умножения матриц запишем системы (2) и (3) в матричной форме:
Элементы матрицы В – безразмерные величины, а элементы вектора b имеют размерность напряжения. Итерационный процесс, определяемый выражением (3) или (4), называется простой итерацией. Метод Зейделя представляет собой незначительную модификацию простой итерации. Отличие заключается в том, что найденное (i+1)-е приближение (k-1)-го напряжения
По методу Зейделя (i+1)-е приближение k-го напряжения
Применение метода Зейделя для решения нелинейных ур-й узловых напряжений аналогично (6).
где В расчётах на ЭВМ при замене комплексных переменных на действительные по методу Зейделя определяются активные и реактивные напряжения узлов:
где Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений УР медленная. Для ускорения сходимости применяют ускоряющие коэффициенты, или метод неполной релаксации. Обозначим В случае t=1 получим обычный итерационный процесс метода Зейделя. Основные достоинства метода: лёгко программируется и требует малой оперативной памяти. Недостаток – в медленной сходимости. Особенно плохо сходится (в ряде случаев даже расходится) при расчёте УР систем с устройствами продольной компенсации, с трёхобм. трансформаторами и автотранс. и др. Метод Ньютона. Данный метод пригоден для решения обширного класса нелинейных ур-й. Идея метода состоит в послед. замене на каждой итерации сис-мы нелин. ур-й некоторой лин. сис-мой, решение которой даёт более близкие к решению нелинейной сис-мы значения неизвестных, чем исходное приближение. Поясним идею на примере решения ур-я
Решение ур-я точка
левая часть – два первых члена разложения ф-ии
За новое приближение неизвестного примем
Аналогично определяем следующие приближения: Итерационный процесс сходится, если
где Геометрическая интерпретация Один шаг метода Ньютона сводится к замене кривой
точке Приближение в точке
Сис-ма нелинейных ур-й с действительными переменными:
Запишем в матричной форме
где Матрица Якоби (матрица производных сис-мы ф-ий
Сис-ма линеаризованных ур-й в матричном виде:
Решение узловых ур-й баланса мощности для к-го узла:
Уравнения баланса мощностей для k-го узла при переменных U и
Матрица Якоби: т.е элементы матрицы – это частные производные небалансов активной и реактивной мощностей по модулям и фазам напряжений узлов. Решение ур-й узловых напряжений баланса токов для к-го узла:
Элементы матрицы Якоби – это производные активных и реактивных небалансов токов по активным и реактивным напряжениям узлов. Таким образом, метод ньютона в расчёте УР сходится быстрее и надёжнее метода Зейделя. Но он требует больше памяти при расчёте на ЭВМ, чем метод Зейделя. 2- 4. Регулирование напряжения в электрических сетях. Компенсация реактивной мощности.
|