Теоретические сведения. Ежедневно специалисты в области экономики и менеджмента сталкиваются с задачами оптимизации

Ежедневно специалисты в области экономики и менеджмента сталкиваются с задачами оптимизации. Это и премирование штатного расписания, и расчет фонда заработной платы, и планирование рекламной кампании, и еще множество задач, решаемых с помощью методов оптимизации. Наиболее легкими и показательными являются задачи линейной оптимизации.

Линейное программирование – это раздел высшей математики, занимающийся разработкой методов поиска экстремальных значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.

Для решения таких задач разработаны специальные методы линейного программирования, которые особенно широко применяются в экономике. К таким методам относится симплексный метод, который реализован в виде надстройки в Excel и подробно рассматривается в курсе Исследование операций.

Пример постановки задачи линейного программирования.

Завод выпускает продукцию 1, 2 и 3 типа и прибыль соответственно составляет от реализации одной единицы продукции 10, 8 и 20 грн. Для производства продукции необходимо сырье трех видов А, В и С, которое в определенном количестве находится на складе. Известно также, сколько каждого вида сырья необходимо для производства одной единицы продукции.

Все перечисленные данные представлены в виде таблицы.

Необходимо найти максимальную прибыль, полученную от реализации произведенной продукции.

Решение.

Для решения задачи надо построить математическую, которая представляет собой систему линейных уравнений-неравенств, целевой функции и ограничений.

Введем обозначения.

х₁ – количество выпущенной продукции 1 вида;

х₂ – количество выпущенной продукции 2 вида;

х₃ – количество выпущенной продукции 3 вида.

Получим систему неравенств

0, 8х₁+1, 4х₂+2х₃< =200,

0, 6х₁+0х₂+2х₃< =100,

1, 2х₁+1х₂+0х₃< =400.

Левая часть неравенств, представляет собой соответственно количество сырья каждого вида, использованное на производство продукции, а правая часть запас сырья каждого вида.

Ограничения модели представляют собой условие не отрицательности количества выпускаемой продукции.

х₁> =0,

х₂> =0,

х₃> =0.

Целевая функция модели представляет собой выражение прибыли, полученной от реализации продукции, и имеет вид

10х₁+8х₂+20х₃

В процессе решения задачи надо найти максимальное значение этой функции. При этом будет определено, сколько единиц продукции каждого вида требуется выпустить, чтобы этого достигнуть.