Давление жидкости на плоские стенки

Рассмотрим жидкость, покоящуюся относительно Земли. Выберем в жидкости горизонтальную площадку w. Все точки этой площадки находятся на одинаковой глубине и испытывают одинаковое давление со стороны покоящейся жидкости. Если свободная поверхность жидкости открыта в атмосферу (р ₀ = р_ат), то сила избыточного давления на площадку w определяется по формуле:

,

то есть численно равна весу жидкости, заключенной в вертикальной призме основанием w и высотой h.

Сила Р_изб направлена со стороны жидкости перпендикулярно стенке. Линия действия силы пересекает площадку w в центре тяжести, так как давление распределено по площадке равномерно.

При равенстве давлений на свободную поверхность жидкости в сосудах р ₀ (рис. 3.14), плотностей r, площадей основания w и глубин h независимо от формы сосуда сила давления на горизонтальное дно будет одной и той же (гидростатический парадокс).

Рис. 3.14. Гидравлический парадокс

Рассмотрим плоскую стенку с площадью смоченной части ω, наклоненную к горизонту под углом q (рис. 3.15). Гидростатическое давление жидкости не остается постоянным в пределах смоченной части стенки. Разбив площадь w на элементарные площадки d w и считая в пределах d w давление р неизменным, выразим значение силы давления dР на элементарную площадку как

dР = рd w.

Вектор dР направлен со стороны жидкости по нормали к площадке. Суммарное воздействие жидкости сведется к равнодействующей силе Р, значение которой определяется по соотношению:

. (3.13)

Так как расстояние l, измеряемое по стенке от линии уреза воды (от оси OY) до элементарной площадки d w, равно , то при получим:

.

Интеграл представляет собой статический момент площади w относительно оси OY, то есть в данном случае относительно линии уреза жидкости. Статический момент равен произведению площади w на плечо l_{ц.т .} момента:

.

Выражение (3.13) примет вид:

.

Сила давления покоящейся жидкости на плоскую наклонную стенку равна произведению площади w на давление жидкости в центре тяжести смоченной части стенки. Сила направлена со стороны жидкости по нормали к стенке.

При р₀ = р_ат сила избыточного давления равна:

.

Далее силу избыточного давления (при р ₀ = р_ат) будем обозначать Р (без индекса).

Линия действия силы Р пересекает площадку в точке D (см. рис. 3.15), которая называется центром давления.

Центр давления не совпадает с центром тяжести площади w, поэтому необходимо определять координаты центра давления.

Сила Р ₀ = р ₀w, связанная с действием в каждой точке смоченной площади w одного и того же давления р ₀, приложена в центре тяжести смоченной площади (точке С). Сила Р приложена в другой точке, не совпадающей с точкой С.

Если необходимо найти точку приложения суммарной силы Р_абс, то ее определяют по правилу сложения сил.

Обычно для расчетов гидротехнических сооружений представляет интерес сила избыточного давления Р (при р₀ = р_ат) и координаты точки ее приложения.

Пусть рассматриваемая площадь w имеет ось симметрии (линия 0l на рис. 3.15). Тогда центр давления D будет расположен на оси симметрии и для определения его положения достаточно найти расстояние от линии уреза жидкости до точки D, то есть l_ц.д.

Воспользуемся теоремой моментов: момент равнодействующей относительно произвольной оси силы равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси.

За ось моментов в данном случае примем линию уреза жидкости, то есть ось OY. Тогда

. (3.14)

Помня, что

подставим эти значения в (3.14):

, (3.15)

где J_y – момент инерции смоченной площади w относительно оси, совпадающей с линией уреза жидкости (оси OY).

Из (3.15) имеем

. (3.16)

Перенесем ось момента инерции в центр тяжести площади. Моменты инерции относительно параллельных осей связаны между собой соотношением:

где J₀ – момент инерции смоченной площади относительно оси, проходящей параллельно линии уреза жидкости через центр тяжести С этой площади.

Подставив значение J_y в (3.16), получим:

или

,

где – статический момент смоченной площади относительно линии уреза жидкости.