Специфические особенности вычислительной математики

Вычислительная математика отличается от других математических дисциплин и обладает специфическими особенностями.

1. Вычислительная математика имеет дело не только с непрерывными, но и с дискретными объектами. Так, вместо отрезка прямой часто рассматривается система точек , вместо непрерывной функции f(x) — табличная функция , вместо первой производной — ее разностная аппроксимация, например,

Такие замены, естественно, порождают погрешности метода.

1. В машинных вычислениях присутствуют числа с ограниченным количеством знаков после запятой из-за конечности длины мантиссы при представлении действительного числа в памяти ЭВМ. Другими словами, в вычислениях присутствует машинная погрешность (округления) . Это приводит к вычислительным эффектам, неизвестным, например, в классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики или в математическом анализе.
2. В вычислительной практике большое значение имеет обусловленность задачи, т.е. чувствительность ее решения к малым изменениям входных данных.
3. В отличие от " классической" математики выбор вычислительного алгоритма влияет на результаты вычислений.
4. Существенная черта численного метода — экономичность вычислительного алгоритма, т.е. минимизация числа элементарных операций при выполнении его на ЭВМ.
5. Погрешности при численном решении задач делятся на две категории — неустранимые и устранимые. К первым относят погрешности, связанные с построением математической модели объекта и приближенным заданием входных данных, ко вторым — погрешности метода решения задачи и ошибки округления, которые являются источниками малых возмущений, вносимых в решение задачи.

Специфику машинных вычислений можно пояснить на нескольких элементарных примерах.