Обусловленность задачи

Пример 3.1.1 Вычислить все корни уравнения

Точное решение задачи легко найти:

Если компьютер работает при , то свободный член в исходном уравнении будет округлен до 16, 0 и, с точки зрения представления чисел с плавающей точкой, будет решаться уравнение (x-2)⁴= 0, т.е. x_{1, 2, 3, 4} = 2, что, очевидно, неверно. В данном случае малые погрешности в задании свободного члена ≈ 10^-8 привели, независимо от метода решения, к погрешности в решении ≈ 10^-2.

Пример 3.1.2. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:

Общее решение имеет вид

При заданных начальных данных точное решение задачи: u(x) = e^-t, однако малая погрешность в их задании приведет к появлению члена , который при больших значениях аргумента может существенно исказить решение.

Пример 3.1.3. Пусть необходимо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения

Его решение: , однако значение u(t₀) известно лишь приближенно: , и на самом деле .

Соответственно, разность u^* - u будет

Предположим, что необходимо гарантировать некоторую заданную точность вычислений ε > 0 всюду на отрезке . Тогда должно выполняться условие

Очевидно, что

Отсюда можно получить требования к точности задания начальных данных при t₀= 0.

Таким образом, требование к заданию точности начальных данных оказываются в e¹⁰ раз выше необходимой точности результата решения задачи. Это требование, скорее всего, окажется нереальным.

Решение оказывается очень чувствительным к заданию начальных данных. Такого рода задачи называются плохо обусловленными.

Пример 3.1.4. Решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

является пара чисел {1, 1}.

Изменив правую часть системы на 0, 01, получим возмущенную систему

с решением {11.01; 0.00}, сильно отличающимся от решения невозмущенной системы. Эта система также плохо обусловлена.

Пример 3.1.5. Рассмотрим полином

корни которого x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₂₀ = 20.

Положим, что коэффициент (-210) при x₁₉ увеличен на ≈ 10^-7. В результате вычислений с 11-ю значащими цифрами получим совершенно иные корни: x₁ = 1, 00; x₂ = 2, 00; x₃ = 3, 00; x₄ = 4, 00; x₅ = 5, 00; x₆ = 6, 00; x₇ = 7, 00; x₈ = 8, 01; x₉ = 8, 92; x_{10, 11} = 10, 1 ± 0, 644i; x_{12, 13} = 11, 8 ± 1, 65i; x_{14, 15} = 14, 0 ± 2, 52i; x_{16, 17} = 16, 7 ± 2, 81i; x_{18, 19} = 19, 5 ± 19, 4i; x₂₀ = 20, 8.

Причина значительного расхождения также заключается в плохой обусловленности задачи вычисления корней рассматриваемого выражения.