Исследование модели асинхронного двигателя в и его математическое описание

Токи и напряжения фаз статора (ротора тоже) асинхронного двигателя можно представить в виде пространственного вектора [4], что приводит к сокращению числа и упрощению структуры уравнений, описывающих рабочие процессы асинхронного двигателя.

В общем случае на трёхфазной обмотке статора действует трёхфазная система напряжений:

(3.1)

Суммарный вектор напряжения можно представить в виде:

.

Если ось А координатной системы А, В, С совместить с вещественной осью комплексной плоскости, расположенной перпендикулярно валу машины, то пространственный (обобщенный) вектор напряжения на обмотках статора асинхронного двигателя определяется уравнением:

, (3.2)

где – мгновенные значения фазных напряжений (3.1);

a – оператор поворота.

(3.3)

Подставим в формулу для пространственного вектора (3.2) выражения (3.1) и (3.2):

, (3.4)

При преобразовании полученного выражения использованы следующие соотношения:

(3.5)

После преобразования (3.4) получим:

, (3.6)

Приведем полученное комплексное выражение к стандартной тригонометрической форме, заменив sinω t = cos(π /2–ω t) и cosω t = sin(π /2–ω t):

, (3.7)

Переведем полученное выражение из тригонометрической формы в показательную:

, (3.8)

что указывает на возникновение постоянной по амплитуде U_m пространственной волны напряжения, вращающейся в положительном направлении с частотой ω. Начальное положение пространственного вектора при t=0 соответствует углу (–π /2), что позволяет получить его проекции при вращении на оси А, В, С, изменяющиеся в соответствии с формулами (3.1).

На рисунке 3.1 представлена геометрическая интерпретация пространственного вектора напряжения – это вектор на комплексной плоскости с модулем (длиной) U_m, вращающийся с угловой скоростью ω в положительном направлении.

Рисунок 3.1 – Пространственный вектор напряжения

Проекции вектора на фазные оси А, В, С определяют мгновенные напряжения в фазах. Аналогично пространственными векторами можно представить все напряжения, токи и потокосцепления, входящие в уравнения, описывающие работу асинхронного двигателя.

3.1.1 Преобразование трёхфазной в двухфазную систему. При построении реальных систем электропривода переменного тока, как асинхронных, так и синхронных, практически всегда в систему управления включают преобразователи фаз 3/2 и 2/3 [2].

Первый (3/2) преобразовывает фазные напряжения трёхфазной системы в напряжения двухфазной системы в координатах α, β. Отметим, что как трёхосная координатная система А, В, С, так и двухосная α, β являются неподвижными системами. Пространственный вектор изображает результат совместного действия трёхфазной системы токов любой эквивалентной m – фазной и, в частности, двухфазной системы. Переход к двухфазной системе в математическом отношении эквивалентен рассмотрению пространственного вектора в новой прямоугольной системе координат α, β. Физический смысл такого преобразования координат состоит в замене реальной трёхфазной машины эквивалентной двухфазной моделью, характеризующейся тем же значением пространственного вектора. Такая замена переменных широко используется при математическом исследовании электрических машин с целью упрощения систем дифференциальных уравнений электрического равновесия статорных и роторных цепей.

На рисунке 3.2 изображено преобразование координат.

Рисунок 3.2 – Преобразование координат: а) условное графическое обозначение преобразователя; б) координаты

Преобразователь (3.2) осуществляет преобразование трёхфазных напряжений U_A, U_B, U_C (3.1) в двухфазные напряжения U_α , U_β в соответствии с выражениями (3.2) и (3.3):

, (3.9)

После преобразования (1.18) получим

, (3.10)

При этом следует иметь в виду, что фазная ось α прямоугольной (двухфазной) системы совмещена с фазной осью А трёхфазной системы (рисунок 3.2, б).

На рисунке 3.3 показана модель преобразователя (3/2) в Simulink (Matlab) [2].

Рисунок 3.3 – Модель преобразователя

На рисунке 3.4 показан результат преобразования трёхфазного напряжения в двухфазное. Амплитуда напряжения принята U_m =1В, частота ω =314рад/сек (f =50Гц). Не трудно отметить, что пространственный вектор напряжения в координатах α, β описывается выражением (3.7), полученным для трёхфазной системы напряжений . Из (3.7) следует, что в двухфазной системе напряжения вычисляются, как и . Результаты расчета напряжений U_α и U_β на модели позволяют сделать вывод, что пространственный вектор для трёхфазной и эквивалентной двухфазной систем одинаков и имеет выражение .

Рисунок 3.4 – Результаты преобразования 3-хфазной системы напряжений в двухфазное (U_m=1В, f=50Гц)

3.1.2 Преобразователь двухфазной системы в трёхфазную. При разработке преобразователя (2/3) следует иметь в виду, что фазный вектор трехфазной системы представляет проекцию пространственного вектора на оси А, В, С. Выражения для фазных напряжений представляют действительную часть проекции пространственного вектора на фазные оси А, В, С.

В соответствии с этим, имеем [2]:

(3.10)

На рисунке 3.5 показан процесс графического формирования мгновенного состояния векторов фазных напряжений для произвольного положения пространственного вектора .

Рисунок 3.5 – Графическая интерпретация работы преобразователя: а) условное графическое изображение преобразователя, б) преобразование координат

Полученные выражения (3.10) использованы при разработке модели преобразователя фаз (2/3) в Matlab [2], показанной на рисунке 3.6.

Рисунок 3.6 – Модель преобразователя фаз с раскрытой подсистемой

На рисунке 3.7 показаны результаты моделирования эквивалентного обратного преобразования двухфазной системы в трёхфазную. Так же амплитудное напряжение U_m =1В и частота 50Гц. На выходе получена трёхфазная система напряжений с прямым чередованием фаз.

Рисунок 3.7 – Результаты моделирования работы преобразователя фаз

3.1.3 Вращающаяся система координат. Вращающаяся система координат в общем случае может перемещаться относительно неподвижной с произвольной скоростью . Мгновенное положение такой системы координат относительно неподвижной определяется углом γ между вещественными осями систем координат. Положение пространственного вектора напряжения во вращающейся системе координат можно определить путем его поворота на угол γ против направления вращения. Поэтому между выражениями пространственного вектора в неподвижной и во вращающейся системах координат имеют место следующие соотношения [2]:

(3.11)

Математическая основа преобразования координат поясняется на рисунке 3.8.

В неподвижной системе координат (α, β) пространственный вектор напряжения может быть представлен в алгебраической и показательной форме .

Рисунок 3.8 – Преобразование координат

Аналогично в системе вращающихся координат (х, у) тот же самый вектор может быть представлен в виде:

, (3.12)

Из выражения (3.12) получаем уравнения перехода от неподвижной системы координат к вращающейся:

. (3.13)

Аналогично получаем уравнения перехода от вращающейся системы координат к неподвижной с учетом (3.11):

Тогда

, (3.14)

На рисунке 3.9 представлена модель преобразователя неподвижной системы координат во вращающуюся, реализованную по уравнениям (3.13). На вход модели поданы проекции пространственного вектора напряжения на оси (α, β) в виде синусоидальных напряжений частоты 314 рад/сек и текущий угол поворота координатной оси от блока Integrator. Угол , где ω _k представляет частоту вращения системы координат. Частота вращения в рад/сек задаётся константой на входе интегратора. Следует заметить, что в этом случае на вход модели подаются синусоидальные функции времени с частотой 314 рад/сек в неподвижной системе координат и задаётся вращение координат с частотой 314 рад/сек. Следовательно, на выходах Ux, Uy должны получиться неподвижные векторы, характеризуемые постоянными величинами на выходах Ux и Uy. Преобразователь координат реализован в блоке Subsystem, содержание которого представлено на рисунке 3.9.

Рисунок 3.9 – Модель преобразователя из неподвижной системы координат во вращающуюся

На рисунке 3.10 представлены результаты моделирования. На экране осциллоскопа представлены синусоидальные напряжения Ua и Ub в неподвижной системе и постоянные напряжения Ux =0, Uy = –1 во вращающейся, подтверждающие предположение, сделанное выше.

Рисунок 3.10 – Результаты моделирования

Если частоту вращения координат ω _k задать отличной от частоты входного напряжения, то на выходе преобразователя появляются синусоидальные напряжения разностной частоты . Следовательно, пространственный вектор вращается во вращающейся системе координат с частотой .

Аналогичная модель строится и для преобразования переменных в вращающейся системе координат в неподвижную в соответствии с уравнениями (3.14) [2].

На рисунке 3.11 представлена модель преобразователя вращающейся системы координат в неподвижную, реализованную по уравнениям (3.14). На вход модели поданы проекции пространственного вектора напряжения на вращающиеся оси (х, у) и текущий угол поворота системы координат. На выходе модели получены составляющие пространственного вектора (Ua, Ub) в неподвижной системе координат. Преобразователь координат реализован в блоке Subsystem, содержание которого представлено на рисунке 3.11.

Рисунок 3.11 – Модель преобразователя вращающихся координат в неподвижные

На рисунке 3.12 представлены результаты моделирования. Напряжения U_a, U_b видны на экране осциллоскопа. Следует заметить, что в этом случае на вход интегратора подаётся сигнал частоты вращения координат 314! /с, и на выходе получаются синусоидальные напряжения частотой 50Гц.

Рисунок 3.12 – Результат моделирования процесса преобразования вращающихся координат в неподвижные