Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теоретические сведения. Цель работы– освоить навыки приближенного нахождения корней алгебраических трансцендентных уравненийметодом итераций в различных средах программирования.Стр 1 из 5Следующая ⇒
Лабораторная работа № 16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ
Цель работы – освоить навыки приближенного нахождения корней алгебраических трансцендентных уравненийметодом итераций в различных средах программирования.
Постановка задачи 1. Используя метод итераций, вычислить с заданной точностью () действительные корни заданного алгебраического уравнения . 2. Решить задачу в различных средах: Fortran, MS Excel и MathCad. Теоретические сведения Пусть дано уравнение , (1) где - непрерывная функция. Требуется вычислить действительный корень уравнения, находящийся на отрезке . Приводим заданное уравнение к виду , (2) где - некоторая непрерывная на отрезке функция. Выбираем произвольное и подставляем его в правую часть равенства (2): . Аналогично получаем ; ; … . Доказано, что если последовательность сходится, то её пределом является корень уравнения (2), а значит, и корень уравнения (1), так как уравнения (1) и (2) равносильны. Для сходимости итерационного процесса исходное уравнение достаточно привести к виду так, чтобы выполнялось условие (3) при . Это достигается различными способами. Например, уравнение заменяем равносильным . В этом случае . Параметр выбираем так, чтобы при . Уравнение можно преобразовать к виду разными способами, лишь бы функция удовлетворяла условию (3). Пример 1. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода итераций. Единственный действительный корень заданного уравнения находится на отрезке , так как , . Приводим исходное уравнение к виду . (4) В этом случае . Тогда , при . Таким образом, достаточное условие сходимости итерационного процесса выполняется. Метод итераций применим для решения уравнения (4). Выбираем произвольное , например, . Тогда . Аналогично определяются последующие приближения. Пример 2. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода итераций. Единственный корень заданного уравнения находится на отрезке . Рассмотренный в примере 1 способ в данном случае неприменим, так как при этом не удовлетворяется достаточное условие сходимости итерационного процесса. Заменяем исходное уравнение равносильным: . В этом случае ; . Параметр находим из условия при , т.е. или при . Отсюда . Полагаем, например, . Исходное уравнение преобразуем к виду , (5) причем при . Методом итерации можно решать уравнение (5). Выбираем произвольное . Пусть . Используя уравнение (5), вычисляем . Подставляя в правую часть равенства (5), получаем и т.д. Вычисления производим до тех пор, пока выполнится неравенство .
Типовый вариант Вычислить корни уравнения методом итераций с точностью e =10-5 на предварительно найденном интервале изоляции [a, b].
Реализация типового варианта
|