![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Модель авторегрессии в корреляционной теории
1.4.1.1. Принципы построения модели авторегрессии
В основу модели АР положена корреляция отсчета случайного процесса в текущий момент времени с некоторым конечным или бесконечным числом отсчетов в предыдущие моменты времени. Корреляционные связи позволяют осуществить регрессию текущего отсчета на предшествующие. Такой вид регрессии называется авторегрессией. В уравнении АР текущий отсчет представляется взвешенной суммой предыдущих с некоторыми коэффициентами веса
где Величина
называется предсказанием случайной величины. Разность между текущим значением отсчета и его предсказанием называется ошибкой предсказания
Величина Из (1) видно, что построение АР модели случайного процесса сводится к нахождению коэффициентов АР и определению порядка
где
Соотношения (5) следуют из некоррелированности ошибок предсказания
где
Как видно из (4а), уравнение не изменится если вместо Как следует из (6а, б), для первого порядка модели АР
Для модели АР второго порядка коэффициенты АР равны
Отметим важное свойство коэффициентов АР, которое не сохраняется, как будет показано в следующей главе, для ОАР модели. Коэффициенты АР минимизируют дисперсию ошибки предсказания
В этом легко убедиться, продифференцировав (9) по Достоинством модели АР является ее конструктивность, заключающаяся в возможности синтеза довольно простым образом алгоритмов обработки случайных процессов. На рис. 1 представлен АР фильтр предсказания (обеляющий фильтр), алгоритм действия которого описывается выражением (3). Он состоит из линий задержки, усилителей с коэффициентами усиления Порядок процесса АР определяется с использованием различных критериев, как правило, основанным на минимизации некоторой теоретико-информационной функции. Для определения порядка модели пользуются методами Бартлетта [ ], Акайке, Парзена. Порядок модели можно находить из условия не убывания дисперсии ошибки предсказания при дальнейшем повышении порядка. Довольно эффективным методом определения порядка модели АР является метод, основанный на проверке близости корреляционной функции случайного процесса на выходе обеляющего АР фильтра к корреляционной функции белого шума. Процессы АР можно характеризовать конечным числом значений функции, определяемой корреляционной функцией. Такая функция носит название частной автокорреляционной функции. Ее можно выразить через коэффициенты АР, порядок которых изменяется от единицы до
Достоинством частной автокорреляционной функции по сравнению с автокорреляционной функцией является ее конечная длина. Как показал Бартлетт [], значение частной автокорреляционной функции можно полагать равным нулю, если оно меньше
1.4.1.2. Спектр процесса авторегрессии
Формула для нахождения спектра модели АР лежит в основе параметрического спектрального оценивания. Для ее вывода будем рассматривать процесс АР как реакцию фильтра
где
Чтобы найти СПМ выходного АР процесса необходимо в (2.13) сделать замену
Выражение (2.14) широко используется в параметрическом методе спектрального оценивания. В качестве параметров, полностью характеризующих спектральную оценку случайного процесса, выступают коэффициенты АР и порядок модели. Параметрическое спектральное оценивание обладает рядом достоинств по сравнению с традиционными методами спектрального оценивания. К ним относятся: более высокое спектральное разрешение при использовании коротких выборок, отсутствие боковых лепестков. С помощью модели АР можно получать спектральные оценки процессов со сложной формой СПМ. Для этого может быть придется использовать модели АР бесконечного порядка. На основе модели АР легко синтезируются оптимальные фильтры подавления, согласованные не только по частоте и полосе спектра, но и по форме спектра случайного процесса. Достоинством формулы (2.14) является возможность анализировать СПМ в аналитическом виде, что невозможно сделать при использовании традиционных методов спектрального оценивания на основе преобразования Фурье. Например, можно найти формулы для определения частоты максимумов и минимумов СПМ. Чтобы определить положение максимума или минимума АР оценки СПМ, нужно взять производную от (2.14) по
где
1.4.1.3. Характеристическое уравнение модели авторегрессии
Модель АР, описываемая уравнением (2.1), может быть представлена в операторной форме
где оператор АР
Действие оператора сдвига z на текущий отсчет описывается следующим образом
Из условия устойчивости формирующего АР фильтра с рациональной передаточной функцией (2.11) следует условие стационарности АР процесса. Для проверки стационарности случайного АР процесса используется характеристическое уравнение
Если корни характеристического уравнения (2, 19) лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости, то процесс АР удовлетворяет условию стационарности. Характеристическое уравнение (2.19) можно представить в виде
Условие стационарности заключается в том, что корни характеристического уравнения (2.20) должны лежать вне единичного круга на комплексной плоскости. Используя (2.19) и (2.20) оператор АР (2.17) можно представить в виде
Из (2.21) следует, что уравнение АР (2.1) можно записать следующим образом
где первый индекс в квадратных скобках указывает на соответствующий порядок модели. Полученные формулы оказываются весьма полезными для определения коэффициентов АР по заданным характеристикам случайного процесса. Отметим, что корни характеристического уравнения полностью описывают модель АР. Свойства модели зависят параметров, через которые они выражаются. Если корень действительный, то его можно представить в виде экспоненциальной функции
где
Комплексные корни характеристического уравнения описываются выражениями
где
1.4.1.4. Генерация коррелированного случайного процесса
В задачах статистического моделирования часто возникает необходимость генерации случайного процесса с заданной корреляционной функцией или с заданной формой и характеристиками СПМ. Для этих целей эффективно использовать генератор процесса АР показанный на рис. 2. Генерация случайного процесса осуществляется методом порождающего случайного процесса. Порождающий процесс в виде белого шума, обычно с гауссовой функцией распределения, пропускается через формирующий фильтр параметры которого определяются соответствующей моделью АР. Для генерации процесса нужно выбрать необходимое количество пиков СПМ. Тогда порядок модели АР равен, как правило, удвоенному значению числа пиков. Так, для СПМ с одним пиком порядок модели равен 2, с двумя пиками порядок модели равен 4. Затем задаются частотой пика и его шириной полосы. Вычисленные значения корней характеристического уравнения по формулам (2.24), используются для нахождения коэффициентов АР. Для этого корни подставляются в соответствующие выражения (2.23). Генерация процесса осуществляется с помощью рекуррентного выражения (1) с использованием порождающего белого шума a[t].
|