Задача 1. По графику функции путем сдвигов и деформаций построить график функции .

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

По графику функции путем сдвигов и деформаций построить график функции .

Построение заданной функции проводится в несколько этапов, которые мы здесь рассмотрим. Функцию будем называть основной.

Построение графика функции .

Предположим, что для некоторых x₁ и x₂ основная и заданная функции имеют равные ординаты, то есть . Но тогда должно быть и

. В зависимости от знака a возможны два случая.

1. Если a > 0, то точка графика функции смещена вдоль оси OX на a единиц вправо по сравнению с точкой N(x, y) графика функции f(x) (рис. 3.1).

2. Если a < 0, то точка смещена вдоль оси OX на единиц влево по сравнению с точкой N(x, y) графика функции f(x) (рис. 3.2). Таким образом получаем

y y

y N(x; y) M(x+a; y) M(x+a; y) y N(x; y)

a

0 x x+a x x+a 0 x x

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Правило 1. Если a > 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на “a” единиц вправо.

Если a < 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на единиц влево.

Примеры. Построить графики функций: 1) ; 2) .

1) Здесь a = 2 > 0. Строим график функции . Сдвинув его на 2 единицы вправо вдоль оси OX, получим график функции

(рис. 3.3).

2) Здесь a = -3 < 0. Строим график функции . Сдвинув его на 3 единицы влево, получим график функции (рис. 3.4).

Y Y

y=(x+3)² y=x²

-1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 x

Рис. 3.3 Рис. 3.4

Замечание. Построение графика функции можно выполнить иначе: построив график основной функции в системе надо перенести ось на а единиц влево, если , и на единиц вправо, если . Тогда в системе получим график функции . Система имеет вспомогательное значение, поэтому ось изображается пунктирно или карандашом.

В качестве примера построим еще раз графики функций и (рис. 3.5) и (рис. 3.6)

Y Y₁ Y₁ Y

О₁ О

0 1 2 x -3 -2 -1 0 x

Рис. 3.5 Рис. 3.6

Построение графика функции где

Пусть для некоторых значений и ординаты функций и равны, то есть . Тогда и . Таким образом, каждой точке графика основной функции соответствует точка графика функции Возможны два случая.

1. Если , то точка лежит в k раз ближе к оси OY, чем точка (рис. 3.7).

2. Если же 0 < k < 1, то точка лежит в раз дальше от оси OY по сравнению с точкой (рис. 3.8). Таким образом, происходит сжатие или растяжение графика функции.

Y Y

y y

0 x X 0 x X

Рис. 3.7 Рис. 3.8

Правило 2. Пусть k > 1. Тогда график функции f(kx) получается из графика функции f(x) путем его сжатия вдоль оси OX в k раз (иначе: его сжатием к оси OY в k раз).

Пусть 0 < k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Примеры. Построить графики функций: 1) и ;

2) и .

Y Y

^{(3) (1) (2)} p

p/2 _{(2) (1) (3)}

¹

-2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Рис. 3.9 Рис. 3.10

1. Строим график функции - кривая (1) на рис. 3.9. Сжав его в два раза к оси OY, получим график функции - кривая (2) на рис. 3.9. При этом, например, точка (1; 0) переходит в точку , точка переходит в точку .

Замечание. Обратите внимание: точка , лежащая на оси OY, остается на месте. Действительно, всякой точке N(0, y) графика f(x) соответствует точка графика f(kx).

График функции получается растяжением графика функции от оси OY в 2 раза. При этом снова точка остается без изменения (кривая (3) на рис. 3.9).

2. По графику функции , построенному в промежутке , строим графики функций - кривые (1), (2), (3) на рис. 3.10. Обратите внимание, что точка (0; 0) остается неподвижной.

Построение графика функции y=f(-x).

Функции f(x) и f(-x) принимают равные значения для противоположных значений аргумента x. Следовательно, точки N(x; y) и M(-x; y) их графиков будут симметричны относительно оси OY.

Правило 3. Чтобы построить график f(-x), надо график функции f(x) зеркально отразить относительно оси OY.

Примеры. Построить графики функций и .

Решения показаны на рис. 3.11 и 3.12.

Y Y

1 -1 1 х

0 x

Рис. 3.11 Рис. 3.12

Построение графика функции y=f(-kx), где k > 0.

Правило 4. Строим график функции y=f(kx) в соответствии с правилом 2. График функции f(kx) зеркально отражаем от оси OY в соответствии с прави-

лом 3. В результате получим график функции f(-kx).

Примеры. Построить графики функций

.

Решения показаны на рис. 3.13 и 3.14.

Y Y

p

p/2

1

-1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Рис. 3.13 Рис. 3.14

Построение графика функции , где A > 0. Если A > 1, то для каждого значения ордината заданной функции в А раз больше, чем ордината основной функции f(x). В этом случае происходит растяжение графика f(x) в А раз вдоль оси OY (иначе: от оси OX).

Если же 0 < A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в раз вдоль оси OY (или от оси OX).

Правило 5. Пусть A > 1. Тогда график функции получается из графика f(x) путем его растяжения в А раз вдоль оси OY (или от оси OX).

Пусть 0 < A < 1. Тогда график функции получается из графика f(x) путем его сжатия в раз вдоль оси OY (или к оси OX).

Примеры. Построить графики функций 1) , и 2) ,

.

Y Y

2

1

1 0 p/2 p p/3 p x

-1

1 х -2

Рис. 3.15 Рис. 3.16

Построение графика функции .

Для каждого точки N(x, y) функции f(x) и M(x, -y) функции -f(x) симметричны относительно оси OX, поэтому получаем правило.

Правило 6. Для построения графика функции надо график зеркально отразить относительно оси OX.

Примеры. Построить графики функций и (рис. 3.17 и 3.18).

Y Y

1

0 1 x 0 π /2 π 3π /2 2π x

-1 -1

Рис. 3.17 Рис. 3.18

Построение графика функции , где A> 0.

Правило 7. Строим график функции , где A> 0, в соответствии с правилом 5. Полученный график отражаем зеркально от оси OX в соответствии с правилом 6.

Построение графика функции .

Если B> 0, то для каждого ордината заданной функции на B единиц больше, чем ордината f(x). Если же B< 0, то для каждого ордината первой функции уменьшается на единиц по сравнению с ординатой f(x). Таким образом, получаем правило.

Правило 8. Чтобы построить график функции по графику y=f(x), надо этот график перенести вдоль оси OY на В единиц вверх, если B> 0, или на единиц вниз, если B< 0.

Примеры. Построить графики функций: 1) и

2) (рис. 3.19 и 3.20).

Y

Y

2

2

1 1

0 x 0 π /2 π 3π /2 2π x

1/2

-1

Рис. 3.19 Рис. 3.20

Схема построения графика функции .

Прежде всего запишем уравнение функции в виде и обозначим . Тогда график функции строим по следующей схеме.

1. Строим график основной функции f(x).

2. В соответствии с правилом 1 строим график f(x-a).

3. Путем сжатия или растяжения графика f(x-a) с учетом знака k по правилам 2-4 строим график функции f [k(x-a)].

Обратите внимание: сжатие или растяжение графика f(x-a) происходит относительно прямой x=a (почему?)

4. По графику в соответствии с правилами 5-7 строим график функции .

5. Полученный график сдвигаем вдоль оси OY в соответствии с правилом 8.

Обратите внимание: на каждом шаге построения в качестве графика основной функции выступает предыдущий график.

Пример. Построить график функции . Здесь k=-2, поэтому . Учитывая нечетность , имеем .

1. Строим график основной функции .

2. Сместив его вдоль оси OX на единицы вправо, получим график функции

(рис. 3.21).

3. Полученный график сжимаем в 2 раза к прямой и таким образом получаем график функции (рис. 3.22).

4. Сжав к оси OX последний график в 2 раза и зеркально отразив его от оси OX, получим график функции (рис. 3.22 и 3.23).

5. Наконец, смещением на вверх по оси OY получаем график искомой функции (рис. 3.23).

Y Y

π /2 π /2

π /4

-1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π /4

-π /2 -π /2

Рис. 3.21 Рис. 3.22

Y Y

π /2

π /4

0 1 3/2 2 x -π /2 0 π /2 x

-π /4

Рис. 3.23 Рис. 3.24