Прямая и обратная задачи механики с точки зрения динамики

Второй закон Ньютона (1.2.3) часто называется уравнением движения или дифференциальным уравнением движения материальной точки.
В проекциях на декартовы оси — это векторное уравнение имеет вид
системы:

, , , (1.3.1, а)

которую можно записать с другим обозначением производных по времени:

(1.3.1, б)

Уравнения (1.3.1) позволяют решать две различные задачи динамики — во-первых, по заданному движению точки, т. е. по известной зависимости ее координат от времени, находить результирующую силу. Эта задача называется прямой задачей динамики. Во-вторых, находить координаты точки как функцию времени по заданной результирующей силе. Эта задача называется обратной задачей динамики.

Прямая задача всегда решается простым дифференцированием.
В результате находятся проекции силы на соответствующие оси в каждый момент времени.

Для решения обратной задачи необходимо знать явный вид результирующей силы . Решение обратной задачи заключается в интегрировании системы дифференциальных уравнений (1.3.1). Эта задача уже сложнее. Кроме того, для ее решения недостаточно задать только результирующую силу. Следует также задать положение и скорость тела
в некоторый момент времени , т. е. начальные условия: , . Если нам однозначно известна результирующая сила , решение уравнения движения, удовлетворяющее начальным условиям, будет единственным.

Теперь мы можем сформулировать очень важный в механике принцип, который называется принципом механической причинности или принципом механического детерминизма (определенности).

Механическое состояние материальной точки в любой момент времени однозначно определяется ее начальным механическим состоянием и условиями ее движения.

Под условиями движения точки понимается взаимодействие с окружающими телами, которое выражено результирующей силой в правой части уравнения движения.