ТЕМА 8.Кількісні характеристики надійності

8.1.Критерії та кількісні характеристики надійності

Критерієм надійності називається ознака, за якою можна кількісно

оцінити надійність різних пристроїв.

До числа найбільш широко застосовуваних критеріїв надійності відносяться:

- Ймовірність безвідмовної роботи протягом певного часу P (t);

- Середнє напрацювання до першої відмови Tср;

- Напрацювання на відмову tср;

- Частота відмов f (t) або p (t);

- Інтенсивність відмов i (t);

- Параметр потоку відмов w (t);

- Функція готовності Kг (t);

- Коефіцієнт готовності Kг.

Характеристикою надійності слід називати кількісне значеннякритерію надійності конкретного пристрою.

Вибір кількісних характеристик надійності залежить від виду об'єкта.

8.2.Критерії надійності невідновлювальних об'єктів

Розглянемо наступну модель роботи пристрою.

Нехай у роботі (на випробуванні) знаходиться N0 елементів і робота вважається

закінченою, якщо всі вони відмовили. Причому замість зламаних елементів відремонтовані не ставляться. Тоді критеріями надійності даних

виробів є:

- Ймовірність безвідмовної роботи P (t);

- Частота відмов f (t) або a (t);

- Інтенсивність відмов і(t);

- Середнє напрацювання до першої відмови Tср.

Ймовірністю безвідмовної роботи називається ймовірність того, що

за певних умов експлуатації в заданому інтервалі часу

або в межах заданої напрацювання не відбудеться жодної відмови.

Згідно з визначенням:

P (t) = P (T> t),

де: T - час роботи елемента від його включення до першої відмови;

t - час, протягом якого визначається ймовірність безвідмовноїроботи.

Імовірність безвідмовної роботи за статистичними даними про відмовиоцінюється виразом:

P (t) = [N0 - n (t)] / N0,

де: N0 - число елементів на початку роботи (випробувань);

n (t) - число відмовили елементів за час t;

Pt () - статистична оцінка ймовірності безвідмовної роботи. При значному числі елементів (виробів) N0 статистична оцінкаPt () практично збігається з ймовірністю безвідмовної роботи

P (t). На практиці іноді більш зручною характеристикоює ймовірність відмови Q (t).

Ймовірністю відмови називається ймовірність того, що за певнихумовах експлуатації в заданому інтервалі часу виникає хочаб один відмову. Відмова та безвідмовна робота є подіями несумісними

і протилежними, тому:

Q (t) = P (T ≤ t), Q (t) = n (t) / N0, Q (t) = 1-P (t).

Частотою відмов за статистичними даними називається відношенням числа зруйнованих елементів в одиницю часу до первинного числапрацюючих (випробовуваних) за умови, що всі вийшли з ладу виробине відновлюються.

Згідно з визначенням:

f (t) = n (Δ t) / N0Δ t,

де: n (Δ t) - число відмовили елементів в інтервалі часу від

(T - Δ t) / 2 до (t + Nt) / 2.

Частота відмов є щільність ймовірності (або закон розподілу)

часу роботи вироби до першої відмови. Тому:

P (t) = 1-Q (t), P(t)f(t)dt

Інтенсивністю відмов за статистичними даними називається відношеннячисла зламаних виробів в одиницю часу до середнього числа виробів,

справно працюючих в даний відрізок часу.

Згідно з визначенням

λ (t) = n (Δ t) / (NcpΔ t),

де: Ncp = Ni + Ni + (1) / 2 - середня кількість справно працюючих елементів

в інтервалі t;

Ni - число виробів, справно працюючих на початкуінтервалу t;

Ni + 1 - число елементів, справно працюючих

в кінці інтервалу t.

Імовірнісна оцінка характеристики p (t) знаходиться з виразу:

λ (t) = f (t) / P (t).

Середньої напрацюванням до першої відмови називається математичне очікування

часу роботи елемента до відмови.Як математичне очікування, Tср обчислюється через частоту відмов(Щільність розподілу часу безвідмовної роботи);

Для визначення середнього напрацювання до першої відмови необхідно знати моменти виходу з ладу всіх випробовуваних елементів. Тому для обчислення середнього напрацювання на відмову користуватися зазначеної формулою незручно. Маючи дані про кількість поламаних елементів ni в кожному i-му інтервалі часу, середню напрацювання до першої відмови краще визначати з рівняння статичної ймовірності.

З виразів для оцінки кількісних характеристик надійності показано, що всі характеристики, крім середнього напрацювання до першої відмови, є функціями часу. Конкретні вирази для практичноїоцінки кількісних характеристик надійності пристроїв розглянутіу розділі «Закони розподілу відмов».

Розглянуті критерії надійності дозволяють досить повно оцінитинадійність невідновлювальних виробів. Вони також дозволяють оцінитинадійність відновлюваних виробів до першої відмови. Наявністьдекількох критеріїв зовсім не означає, що завжди потрібно оцінювати надійністьелементів за всіма критеріями.

Найбільш повно надійність виробів характеризується частотою відмовf (t) або a (t). Це пояснюється тим, що частота відмов є щільністюрозподілу, а тому несе в собі всю інформацію про випадкове явище- час безвідмовної роботи.Середнє напрацювання до першої відмови є досить наочною характеристикоюнадійності. Однак застосування цього критерію для оцінки

надійності складної системи обмежена в тих випадках, коли:

- час роботи системи набагато менше середнього часу безвідмовної

роботи;

- закон розподілу часу безвідмовної роботи «НЕ» однопараметричне

і для достатньо повної оцінки потрібні моменти вищих

порядків;

- система резервована;

- інтенсивність відмов зовсім постійна;

- час роботи окремих частин складної системи різне.

Інтенсивність відмов - найбільш зручна характеристика надійностінайпростіших елементів, так як вона дозволяє більш просто обчислювати кількісніхарактеристики надійності складної системи.

Найбільш доцільним критерієм надійності складної системи єймовірність безвідмовної роботи. Це пояснюється такими особливостямиймовірності безвідмовної роботи:

- вона входить в якості складовоїдо інших, більш загальні характеристикисистеми, наприклад, в ефективність і вартість;

- характеризує зміну надійності в часі;

- може бути отримана порівняно просто розрахунковим шляхом в процесіпроектування системи і оцінена в процесі її випробування.

8.3.Критерії надійності відновлюваних об'єктів

Розглянемо наступну модель роботи.

Нехай в роботі знаходиться N елементів і відмовили елементи негайнозамінюються справними (новими або відремонтованими). Якщоне враховувати часу, потрібного на відновлення системи, то кількіснимихарактеристиками надійності можуть бути параметр потоку відмов

-f (t) і напрацювання на відмову tср.

Параметром потоку відмов називається ставлення числа виробів що відмовили в одиницю часу до числа випробовуваних за умови, що всі вийшлиз ладу вироби замінюються справними (новими або відремонтованими).

Статистичними визначенням служить вираз:

ω (t) = n (Δ t) / NΔ t

де: n (Δ t) - число які відмовили зразків в інтервалі часу від t–f(t) / 2

до t + Δ t / 2;

N - число випробовуваних елементів;

Δ t - інтервал часу.

Параметр потоку відмов і частота відмов для ординарних потоківз обмеженим післядією пов'язані інтегральним рівнянням Вольтерадругого роду:

ω (t) f (t) ω (τ) f (t - τ) dτ

За відомою ft () можна знайти всі кількісні характеристики надійностіневідновлювальних виробів. Основним рівнянням, що зв'язує кількісні характеристики надійності невідновлювальних та відновлюваних елементів при миттєвому відновленні.

Співвідношення дозволяють знайти одну характеристику через іншу, якщо існують перетворення Лапласа функцій f (s) і τ (s) і зворотніперетворення виразів.

Параметр потоку відмов володіє наступними важливими властивостями:

1) для будь-якого моменту часу, незалежно від закону розподілучасу безвідмовної роботи, параметр потоку відмов більше, ніж частота

відмов, т. е. τ (t)> f (t);

2) незалежно від виду функцій f (t) параметр потоку відмов f(t) приt → ∞ прагне до 1 / Tср. Це важлива властивість параметра потоку відмовозначає, що при тривалій експлуатації ремонтованого виробу потікйого відмов, незалежно від закону розподілу часу безвідмовної роботи, стає стаціонарним. Однак це зовсім не означає, що інтенсивністьвідмов є величина постійна;

3) якщо Δ (t) - зростаюча функція часу, то Δ (t)> p (t)> f (t), якщо

p (t) - спадна функція, то p (t)> Δ (t)> f (t);

4) при λ (t) ≠ const параметр потоку відмов системи не дорівнює сумі параметрівпотоку відмов елементів. Ця властивість параметра потоку відмов дозволяє стверджувати, що при

обчисленні кількісних характеристик надійності складної системине можна підсумувати наявні в даний час значення інтенсивностівідмов елементів, отриманих за статистичними даними про відмовивиробів в умовах експлуатації, так як зазначені величини єфактично параметрами потоку відмов;

5) при Δ (t) = τ = const параметр потоку відмов дорівнює інтенсивності відмов.

З перегляду властивостей інтенсивності та параметра потоку відмоввидно, що ці характеристики різні.В даний час широко використовуються статистичні дані про відмови,

отримані в умовах експлуатації обладнання. При цьому воничасто обробляються таким чином, що приводяться характеристики надійностіне є інтенсивністю відмов, а параметром потоку відмов.

8.4.Напрацюванням на відмову називається середнє значення часу між сусідніми

відмовами.

Напрацювання на відмову є досить наочною характеристикою надійності, тому вона отримала широке поширення на практиці.

Параметр потоку відмов і напрацювання на відмову характеризують надійністьвідновлюваного вироби і не враховують часу, необхідногона його відновлення. Тому вони не характеризують готовності пристроїдо виконання своїх функцій в потрібний час. Для цієї мети вводятьсятакі критерії, як коефіцієнт готовності і коефіцієнт вимушеногопростою.

Коефіцієнтом готовності називається відношення часу справноїроботи до суми часів справної роботи і вимушених простоїв пристрою, взятих за один і той же календарний період. Ця характеристика за статистичнимиданими визначається:

K r = tp / (tp + tп), де: tр - сумарний час справної роботи виробу;

tп - сумарний час вимушеного простою.

Для переходу до ймовірнісної трактуванні величини tр і tп замінюються

математичними очікуваннями часу між сусідніми відмовами і часувідновлення відповідно. Тоді:

Kr = tcp / (tcp + tв),

де: tср - напрацювання на відмову;

tв - середній час відновлення.

Коефіцієнтом вимушеного простою називається відношення часувимушеного простою до суми часів справної роботи і вимушенихпростоїв вироби, взятих за один і той же календарний термін.

K п = t p / (t p + tп)

або, переходячи до середніх величин:

Kп = tв / (tcp + tв)

Коефіцієнт готовності і коефіцієнт вимушеного простою пов'язаніміж собою залежністю:

Kп = 1/ Kг

При аналізі надійності відновлюваних систем зазвичай коефіцієнтготовності обчислюють за формулою:

Kг = Tcp / (Tcp + tв)

Тільки в тому випадку, якщо потік відмов найпростіший, і тоді tср = Tср.

Часто коефіцієнт готовності, обчислений за формулою, ототожнюють з імовірністю того, що в будь-який момент часу відновлюванасистема справна. Насправді зазначені характеристики нерівноцінні і можуть бути ототожнені при певних припущеннях.Дійсно, ймовірність виникнення відмови ремонтованої системина початку експлуатації мала. З ростом часу t ця ймовірність зростає.Це означає, що ймовірність застати систему в справному станіна початку експлуатації буде вище, ніж після закінчення деякогочасу. Тим часом на підставі формули коефіцієнт готовностіне залежить від часу роботи.

8.5. Критерії готовності системи

Для з'ясування фізичного сенсу коефіцієнта готовності Kг запишемоформулу для ймовірності застати систему в справному стані. Прицьому розглянемо найбільш простий випадок, коли інтенсивність відмов та інтенсивність відновлення є величини постійні.

Припускаючи, що при t = 0 система перебуває в справному стані

(P (0) = 1), ймовірність застати систему в справному стані визначаєтьсяз виразів:

Pг (t) = exp [- () t]

У деяких випадках критеріями надійності відновлюваних систем можуть бути критерії невідновлювальних систем, наприклад: ймовірністьбезвідмовної роботи, частота відмов, середнє напрацювання до першої відмови, інтенсивність відмов. Така необхідність виникає:

- коли має сенс оцінювати надійність відновлюваної системидо першої відмови;

- у випадку, коли застосовується резервування з відновленням відмовили

резервні пристрої в процесі роботи системи, причому відмовавсій резервованої системи не допускається.