Прямые произведения и функции

Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a; b), таких, что аÎ А, bÎ B.

С=AхВ, если А=В то С=А².

Прямыми «х» n множеств A₁x, …, xA_n называется множество векторов (a₁, …a_n) таких, что a₁Î A₁, …, A_nÎ A_n.

Через теорию множеств введем понятие функции.

Подмножество FÎ M_x x M_y называется функцией, если для каждого элемента хÎ M_x найдется yÎ М_у не более одного.

(x; y)Î F, y=F(x).

Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:

Определение: Между множествами M_X и M_Y установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎ M_X соответствует 1 элемент yÎ M_Y и обратное справедливо.

Пример: 1) (х, у) в круге

Пусть даны две функции f: Aà B и g: Bà C, то функция y: Aà C называется композицией функций f и g.

Y=f o g o – композиция.

Способы задания функций:

1) таблицы, определены для конечных множеств;

2) формула;

3) графики;

Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.

Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!

Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.

Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.

Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2^|A|=2ⁿ.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.

Множество N² – счетно.