Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Й учебный вопрос. Построение уравнения двухфакторной линейной регрессии.
|
|
Уравнение двухфакторной линейной регрессии является простейшим случаем множественной регрессии. На предыдущей лекции мы имели дело с двумя признаками — результативным и факторным.
Но на результат действует обычно не один фактор, а несколько, что необходимо учитывать для достаточно полного анализа связей.
В математической статистике разработаны методы построения множественной регрессии (Регрессия называется множественной, если число независимых переменных, учтенных в ней, больше или равно двум.), Возвратимся к ранее рассмотренному примеру. В нем была определена форма связи между величиной сбора хлеба на душу и размером посева на душу.
Введем в анализ еще один фактор — уровень урожайности (см.табл. 3.1). Без сомнения, эта переменная влияет на сбор хлеба на душу. Но в какой степени влияет? Насколько обе независимые переменные определяют сбор хлеба на душу в черноземных губерниях? Какая из переменных — посев на душу или урожайность — оказывает определяющее влияние на сбор хлеба? Попытаемся ответить на эти вопросы.
После добавления второй независимой переменной уравнение регрессии будет выглядеть так:
y = a0+a1x1+a2x2 (3.4)
где у—сбор хлеба на душу; х1—размер посева на душу; x2—урожай с десятины (в пудах); а0, а1, а2—параметры, подлежащие определению.
Для нахождения числовых значений искомых параметров, как и в случае одной независимой переменной, пользуются методом наименьших квадратов.
Он сводится к составлению и решению системы нормальных уравнений, которая имеет вид:
Когда система состоит из трех и более нормальных уравнений, решение ее усложняется. Существуют стандартные программы расчета неизвестных параметров регрессионного уравнения на ЭВМ (например, SPCC, Statistica, Statgraphic и другие). При расчете вручную можно воспользоваться известным методом определителей. Использование этого метода чрезвычайно упрощается, если все расчеты вести в программе Excel.
Пример. По данным табл. 3.1 найдем параметры a0, а1, а2.
Построим вспомогательную таблицу 3.2. для составления системы нормальных уравнений:
Таблица 3.2
Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения двухфакторной линейной регрессии
| № | y | x1 | x2 | Х12 | X22 | Х1У | УX2 | X1Х2 | |
| 48, 01 | 0, 91 | 46, 08 | 0, 83 | 2123, 37 | 43, 69 | 2212, 30 | 41, 93 | ||
| 38, 18 | 0, 76 | 45, 18 | 0, 58 | 2041, 23 | 29, 02 | 1724, 97 | 34, 34 | ||
| 38, 70 | 0, 82 | 41, 76 | 0, 67 | 1743, 90 | 31, 73 | 1616, 11 | 34, 24 | ||
| 46, 72 | 0, 88 | 50, 94 | 0, 77 | 2594, 88 | 41, 11 | 2379, 92 | 44, 83 | ||
| 41, 58 | 0, 88 | 43, 54 | 0, 77 | 1895, 73 | 36, 59 | 1810, 39 | 38, 32 | ||
| 36, 89 | 0, 89 | 38, 80 | 0, 79 | 1505, 44 | 32, 83 | 1431, 33 | 34, 53 | ||
| 34, 54 | 0, 87 | 39, 22 | 0, 76 | 1538, 21 | 30, 05 | 1354, 66 | 34, 12 | ||
| 42, 86 | 0, 94 | 42, 74 | 0, 88 | 1826, 71 | 40, 29 | 1831, 84 | 40, 18 | ||
| 38, 97 | 0, 91 | 41, 20 | 0, 83 | 1697, 44 | 35, 46 | 1605, 56 | 37, 49 | ||
| 43, 22 | 1, 07 | 39, 35 | 1, 14 | 1548, 42 | 46, 25 | 1700, 71 | 42, 10 | ||
| 28, 19 | 0, 69 | 34, 38 | 0, 48 | 1181, 98 | 19, 45 | 969, 17 | 23, 72 | ||
| 38, 65 | 0, 74 | 48, 98 | 0, 55 | 2399, 04 | 28, 60 | 1893, 08 | 36, 25 | ||
| 36, 26 | 0, 90 | 40, 06 | 0, 81 | 1604, 80 | 32, 63 | 1452, 58 | 36, 05 | ||
| 32, 07 | 0, 52 | 57, 91 | 0, 27 | 3353, 57 | 16, 68 | 1857, 17 | 30, 11 | ||
| 32, 83 | 0, 66 | 43, 86 | 0, 44 | 1923, 70 | 21, 67 | 1439, 92 | 28, 95 | ||
| 35, 16 | 0, 58 | 58, 62 | 0, 34 | 3436, 30 | 20, 39 | 2061, 08 | 34, 00 | ||
| 44, 56 | 0, 99 | 44, 39 | 0, 98 | 1970, 47 | 44, 11 | 1978, 02 | 43, 95 | ||
| 59, 16 | 1, 63 | 35, 77 | 2, 66 | 1279, 49 | 96, 43 | 2116, 15 | 58, 31 | ||
| 67, 99 | 1, 95 | 35, 96 | 3, 80 | 1293, 12 | 132, 58 | 2444, 92 | 70, 12 | ||
| 53, 73 | 1, 27 | 40, 99 | 1, 61 | 1680, 18 | 68, 24 | 2202, 39 | 52, 06 | ||
| 52, 39 | 1, 55 | 33, 05 | 2, 40 | 1092, 30 | 81, 20 | 1731, 49 | 51, 23 | ||
| 36, 10 | 1, 15 | 30, 68 | 1, 32 | 941, 26 | 41, 52 | 1107, 55 | 35, 28 | ||
| 32, 67 | 0, 94 | 34, 26 | 0, 88 | 1173, 75 | 30, 71 | 1119, 27 | 32, 20 | ||
| Σ | 959, 43 | 22, 50 | 967, 72 | 16, 06 | 22148, 00 | 614, 76 | 21403, 63 | 508, 50 |
Используя суммы, рассчитанные в последней строке таблицы 3.2, построим систему нормальных уравнений и решим ее.
23a0 + 22, 5a1+967, 72a2 = 959, 43
22, 5a0+16, 06a1+508, 5a3=614, 76 (3.5)
967, 72 a0+508, 50a1+22148a3=21403, 63
Решая систему (3.5) методом определителей, получаем следующие результаты: a0 = -0, 85, a1 =28, 18, a2 =0, 36.
Таким образом, уравнение множественной регрессии между величиной сбора хлеба на душу населения (у), размером посева на душу (x1) и уровнем урожайности (х2) имеет вид:
у = -0, 85+28, 18x1+0, 36x2 (3.6)