Система уравнений для расчета параметров гиперболы.

Построим теперь систему нормальных уравнений для расчета параметров гиперболы y= a₀ + a₁/x

Заменяя в уравнении y= a₀ + a₁/x величину 1/x на z, получаем простейшее линейное уравнение парной регрессии y=a₀+a₁z, для которого также уже рассматривалась система нормальных уравнений:

a₀+a₁Σ z=Σ y

a₀Σ z+a₂Σ z²=Σ yz

Выполним обратную замену переменных, подставляя вместо z переменную 1/x. Получим следующую систему

na₀+a₁∑ 1/x=∑ y

a₀∑ 1/x+a₁∑ 1/x²=∑ y/x (6.3)

Уравнение регрессии в виде гиперболы часто используется для описания различных экономических процессов, например, если a₁> 0, то классическим примером такой зависимости будет так называемая кривая Филлипса (см. рис.6.1).

В конце 50-х ХХ в. английский экономист Филлипс установил (на основе статистики за 100 лет) такую (обратную) зависимость между уровнем безработицы и приростом средней заработной платы.

Существуют и другие типы кривых, которые описываются уравнением гиперболы, например, кривая, которая изображена на другом графике (рис. 6.2).

У этой гиперболы a₁< 0. Такая кривая известна в экономической теории под названием «Кривая Энгеля».

Рис. 6.1. Кривая Филлипса

Рис. 6.2 Кривая Энгеля

Подобной зависимостью хорошо описывается взаимосвязь между долей расходов на покупку продуктов питания в общей сумме потребительских расходов и величиной доходов населения. С ростом уровня доходов семьи доля расходов на покупку продуктов питания уменьшается, а доля расходов на покупку товаров длительного пользования наоборот растет.

Такую закономерность вывел в 1857 году немецкий статистик Э. Энгель.