Значения стандартных ошибок для σD для n от 10 до 100

Рассмотрим пример использования всех этих критериев для проверки гипотезы о наличии тренда во временном ряду. В таблице 8.2 приведены данные о курсе акций промышленной компании в течение месяца.

Таблица 8.2.

Составим таблицу, в которой выполним вспомогательные расчеты, необходимые для проверки наличия тренда в данном ряду по всем трем критериям.

Выявленная тенденция временного ряда моделируется на основе ранее изученных в курсе статистики различных типов уравнений тренда. При этом особое значение имеет проверка адекватности выбранных моделей временного ряда (т ак же, как проверка значимости уравнений регрессии).

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу (в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду). Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида:

y _t = u _t + e _t (8.8.)

Тогда ряд остатков будет получен как отклонения фактических уровней временного ряда (y _t) от выравненных, расчетных (ŷ _t):

e _t = y _t - ŷ _t (8.9.)

При использование кривых роста ŷ _t вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения.

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений e _t от времени, или, что тоже самое, о наличие тенденций в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, рассмотренных выше, например критерий серий.

Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.

В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полученные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности (с этими свойствами знакомятся в курсе математической статистики). В тоже время эффективность этих оценок будет снижаться, а следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей надежности.

Существует несколько приемов обнаружения автококорреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существование автокорреляции первого порядка, т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле: _{n n}

d = ∑ (e_t - e_t-1)² / ∑ e _t² (8.10.)

^{t=2 t=2}

Можно показать, что величина d приближенно равна:

d ≈ 2(1- r₁) (8.11.),

где r₁ – коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами e₁ , e₂, …, e_n-1 и e₂ , e₃, …, e_n).

Из последней формулы видно, что если в значениях e_t имеется сильная положительная автокорреляция (r₁ ≈ 1), то величина d=0, в случае сильной отрицательной автокорреляции (r₁ ≈ -1) d=4. При отсутствие автокорреляции (r₁ ≈ 0) d=2.

Заключение. Таким образом, на данной лекции мы изучили различные способы проверки наличия тенденции во временном ряду. Но анализ структуры временного ряда эти не исчерпывается. Необходимо выявить наличие периодических (циклических или сезонных колебаний). Этот вопрос рассматривается на следующей лекции.