Аналитический метод с использованием комплексных чисел

Рис. 2.5

Синусоидальный ток i(t) = I_m sin(ω t + ψ) можно представить комплексным числом Í _m на комплексной плоскости (рис. 2.5)

Í _m = I_me^jψ ,

где амплитуда тока I_m – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.

Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Подробнее этот метод будет рассмотрен ниже.

17.Электрическая цепь с активным сопротивлением: законы изменения тока, напряжения, мощности.

Сопротивление одного и того же проводника для переменного тока будет больше, чем для постоянного.

Это объясняется явлением так называемого поверхностного эффекта, заключающегося в том, что переменный ток вытесняется от центральной части проводника к периферийным слоям. В результате плотность тока во внутренних слоях будет меньше, чем в наружных. Таким образом, при переменном токе сечение проводника используется как бы не полностью. Однако при частоте 50 Гц различие в сопротивлениях постоянному и переменному токам незначительно и практически им можно пренебречь.

Сопротивление проводника постоянному току называют омическим, а переменному току – активным сопротивлением.

Омическое и активное сопротивление зависят от материала (внутренней структуры), геометрических размеров и температуры проводника. Кроме того, в катушках со стальным сердечником на величину активного сопротивления влияют потери в стали (далее для самоподготовки).

К активным сопротивлениям относят электрические лампы накаливания, электрические печи сопротивления, различные нагревательные приборы, реостаты и провода, где электрическая энергия практически почти целиком превращается в тепловую.

Пусть имеется цепь переменного синусоидального тока с активным сопротивлением (рис. 9).

Рисунок 9 – Цепь с активным сопротивлением.

На схеме стрелками показаны условно принятые положительные направления напряжения и тока. Сопротивлением проводов пренебрегаем.

Так как напряжение цепи изменяется по закону синуса, то мгновенное его значение будет

(14)

Тогда мгновенное значение тока по закону Ома будет равно

. (15)

Из выражения (15) следует, что напряжение и ток в цепи с активным сопротивлением, изменяясь по закону синуса, совпадают по фазе.

На рис. 10 представлены волновая и векторная диаграммы тока и напряжения; на векторной диаграмме отложены действующие значения величин.

Как вытекает из формулы (15), ток будет иметь наибольшее значение при sin ω t = 1. Следовательно, амплитуда тока

. (16)

Рисунок 10 – Волновая и векторная

диаграммы с активным сопротивлением.

Формула (16) представляет закон Ома для амплитудных значений. Разделив обе части выражения (16) на , получим закон Ома для действующих значений

. (17)

Мгновенная мощность будет равна произведению мгновенных значений напряжения и тока

. (18)

Но

,

следовательно,

или

. (19)

Выражение (18) и данные, приведенные в таблице 2, показывают, что кривая мгновенной мощности пульсирует с двойной частотой около среднего значения, равного UI, оставаясь все время положительной. Кривая мгновенной мощности может быть получена умножением ординат напряжения и тока (рис. 10).

Среднее значение мощности за период в цепи переменного тока с активным сопротивлением будет равно

(20)

Средняя мощность за период называется активной мощностью и измеряется в ваттах (Вт) или киловаттах (кВт).

Площадь, ограниченная кривой мгновенной мощности и осью абсцисс, в некотором масштабе представляет энергию, полученную цепью от генератора. Как видно из рис. 10, в течение всего периода Т энергия в цепи положительна, т.е. направлена от генератора к потребителю. Эта энергия превращается в тепловую (или механическую) энергию, и, таким образом, происходит необратимый процесс.

Обобщая изложенное, можно сделать следующие выводы:

- в цепях переменного тока только с активным сопротивлением (L = 0; C = 0) ток совпадает по фазе с приложенным напряжением (φ = 0).

- закон Ома справедлив не только для мгновенных, но также для амплитудных и действующих значений напряжения и тока.

- мгновенная мощность и энергия, получаемые цепью в течение периода, положительны, т.е. направлены от генератора к потребителю; средняя (активная) мощность за период равна UI.

18. Электрическая цепь с индуктивностью: законы изменения тока, напряжения, мощности.

Под действием синусоидального напряжения в цепи с индуктивной катушкой без ферромагнитного сердечника (рис. 23) проходит синусоидальный ток .

Рис. 23. Цепь с индуктивностью

В результате этого вокруг катушки воз­никает переменное магнитное поле и в катушке на­водится ЭДС самоиндукции.

Так как R=0 напряжение источника целиком идет на уравновешивание этой ЭДС; следовательно, . Так как

, то

или

(12)

Таким образом, ток в цепи с индуктивностью отстает по фазе от напряже­ния на угол π /2 или ¼ периода (рис. 24).

а) б)

Рис. 24. Ток и напряжение в цепи с индуктивностью

Объясняется это тем, что в моменты времени, когда ток проходит через нулевые значения, скорость изменения его наибольшая, соответственно наибольшими будут и ЭДС самоиндукции и уравновешивающее ее напряжение. Наоборот, в те моменты, когда ток проходит через амплитудные значения, скорость его изменения равна нулю, соответственно равны нулю и ЭДС самоиндукции и напряжение. По закону Ленца при нарастании тока ЭДС самоиндукции направлена навстречу току, и наоборот, при его уменьшении ЭДС направлена одинаково с ним. Поэтому, когда ток положителен и нарастает, ЭДС отрицательна, а во второй четверти периода, когда ток положителен и убывает, ЭДС отрицательна.

Закон Ома для цепи с индуктивностью.

, (13)

где , Ом – реактивное индуктивное сопротивление.