Разностная схема. Разностная схема для эллиптического уравнения

Разностная схема для эллиптического уравнения

Постановка задачи

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения

y

1

D

0 1 x

с краевыми условиями

Будем считать, что правая часть дифференциального уравнения и функции , , , удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование и единственность гладкого решения задачи (1) - (2).

Разностная схема

Построим разностную схему - разностный аналог дифференциальной задачи (1) - (2).

Выполним следующие шаги:

1) Область непрерывного изменения аргументов заменим дискретным множеством точек – сеткой , Точки называются узлами сетки , и называются шагами сетки по оси и , соответственно. Узел сетки будем обозначать . Обозначим множество внутренних узлов сетки через и через - множество граничных узлов.

Сетку можно представить в виде

где , .

Замечание. При реализации метода сеток шагиобычно выбирают согласованно. Поэтому сетка и обозначена через .

2) Все функции в исходной дифференциальной задаче (1) – (2) заменим сеточными функциями - функциями, определенными в узлах сетки . Сеточную функцию обозначим через Проекцию функции на сетку обозначим через

3) Производные в исходной дифференциальной задаче (1) – (2) заменим разностными отношениями – сходящимися формулами численного дифференцирования:

В результате получим систему линейных алгебраических уравнений:

(3)

Система (3) называется разностной схемой - разностным (дискретным) аналогом дифференциальной задачи (1) – (2).

Для построения разностной схемы (3) используется пять точек – пяти-точечный шаблон:

Введем пространства сеточных функций и .

где

Теперь разностную схему (3) можно записать в виде операторного уравнения

где