Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Аппроксимация и устойчивость разностной схемы. Разностная схема (4) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (1) - (2) на ее решении если
Разностная схема (4) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (1) - (2) на ее решении если при . Разность называется невязкой. Покажем, что невязка при . Так как
то, заменяя здесь и соответствующими разложениями решения по формуле Тейлора в точке : получаем
Следовательно, и разностная схема (4) обладает свойством аппроксимации. Разностная схема (4) называется устойчивой, если для достаточно малых шагов сетки и выполнены условия: 1) Для любой сеточной функции уравнение имеет единственное решение (существует обратный оператор ). 2) Существует константа , независящая от ( и ), такая, что для решения уравнения имеет место неравенство (норма обратного оператора равномерно по ограничена константой : ). Замечание. Условие 2) определения устойчивости разностной схемы принято называть условием устойчивости.
Проверку устойчивости разностной схемы (4) разобьем на несколько этапов. Предложение 1. Пусть сеточная функция определена на всей сетке и отлична от константы (не все координаты вектора равны одному и тому же числу). Пусть на множестве внутренних узлов сетки имеет место неравенство Тогда сеточная функция принимает свое наибольшее значение в одном из граничных узлов сетки Предложение 2. Пусть сеточная функция определена на всей сетке и отлична от константы. Пусть на множестве внутренних узлов сетки имеет место неравенство Тогда сеточная функция принимает свое наименьшее значение в одном из граничных узлов сетки Из Предложений 1 и 2 немедленно следует Предложение 3. Если существуетсеточная функция определенная на всей сетке , такая, что на множестве внутренних узлов сетки имеет место равенство то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений на множестве граничных узлов Отсюда немедленно получаем выполнение условия 1) определения устойчивости разностной схемы. Действительно из предложения 3 следует, что однородная разностная схема для всех имеет только нулевое решение для всех Таким образом, неоднородное уравнение имеет единственное решение для любой сеточной функции Перейдем к доказательству условия устойчивости. Заметим, что для любого многочлена второй степени имеет место равенство
Положим где
Введем оператор : Имеем Рассмотрим разность где - решение разностной схемы. Очевидно, что
Так как для то из Предложения 1 следует, что сеточная функция достигает своего наибольшего значения в одном из граничных узлов и, следовательно, или во всех узлах сетки . Теперь рассмотрим сеточную функцию . Применив к этой функции оператор , получим
Так как для то из Предложения 2 следует, что сеточная функция достигает своего наименьшего значения в одном из граничных узлов и, следовательно, или во всех узлах сетки . Таким образом, во всех узлах сетки . Следовательно, и условие устойчивости для разностной схемы (4) выполняется с константой . По теореме Филиппова из аппроксимации и устойчивости разностной схемы получаем ее сходимость: при , здесь - решение разностной схемы (3) (или что тоже самое (4)), - точное решение исходной дифференциальной задачи (1) – (2).
|