Разностная схема

Простейшие разностные схемы для уравнения теплопроводности

Постановка задачи

Рассмотрим cмешанную краевую задачу для уравнения теплопроводности

t

T

D

0 1 x

с начальным и краевыми условиями

Будем считать, что правая часть дифференциального уравнения и функции , , удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование и единственность гладкого решения задачи (1) - (2).

Разностная схема

Построим разностную схему - разностный (сеточный) аналог дифференциальной задачи (1) - (2).

Выполним следующие шаги:

1) Область непрерывного изменения аргументов заменим дискретным множеством точек – сеткой , Точки называются узлами сетки , и называются шагами сетки по оси и , соответственно. Узел сетки будем обозначать .

Сетку можно представить в виде

где

, .

Замечание. При реализации метода сеток шаги и обычно выбирают согласованно. Поэтому сетка и обозначена через .

2) Все функции в исходной дифференциальной задаче (1) – (2) заменим сеточными функциями - функциями, определенными в узлах сетки . Сеточную функцию обозначим через Проекцию функции на сетку обозначим через

3) Производные в исходной дифференциальной задаче (1) – (2) заменим разностными отношениями – сходящимися формулами численного дифференцирования:

В результате получим систему линейных алгебраических уравнений:

Здесь - числовой параметр - сеточная аппроксимация правой части дифференциального уравнения , - сеточная аппроксимация начального условия , и - сеточные аппроксимации краевых условий и , соответственно.

Система (3) называется разностной схемой - разностным (дискретным) аналогом дифференциальной задачи (1) – (2).

Для построения разностной схемы (3) при используется шесть точек – шеститочечный шаблон:

В этом случае разностную схему (3) принято называть схемой с весами.

Замечание. При разностная схема (3) называется явной. Шаблон имеет вид:

При разностная схема (3) называется целиком неявной. Шаблон имеет вид:

При разностная схема (3) называется схемой Кранка-Николсона.

Разностная схема (3) имеет послойную структуру. Зная решение на -ом слое () мы можем найти решение на - ом слое.