Пример выполнения типового расчета

Задания 1 - 8, 10 -13. Найти общие решения (общие интегралы) дифференциальных уравнений. Где указано, найти решение задачи Коши.

Задание 1. .

Решение. Это уравнение простейшего типа. Его общее решение имеет вид (2.2):

Под знаком интеграла неправильная дробно-рациональная функция. Выделяем целую часть

.

Интегрируя, получим

Ответ:

Задание 2.

Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными (см. (2.4.)). Запишем уравнение в дифференциальной форме:

Разделив обе части уравнения на , получим уравнение с разделенными переменными

Общий интеграл уравнения (см. (2.5)) имеет вид:

Ответ:

Задание 3. Найти решение задачи Коши: .

Решение. Найдем сначала общее решение уравнения. Это линейное уравнение (см.(2.7.)). Решение уравнения ищем в виде:
. Уравнение примет вид

Выберем функцию так, чтобы тогда приходим к системе уравнений (см. (2.8)):

Уравнение (9.1) - УРП. Разделим переменные

Выберем одно решение этого уравнения (С=0):

Находим решение уравнения (7.2):

Общее решение уравнения имеет вид: .

Найдем решение задачи Коши. Найдем значение постоянной С из условия: при . Имеем

.

Ответ. Решение задачи Коши: .

Задание 4. .

Решение. Это уравнение Бернулли (см.п. 2.6.). Решение ищем методом Бернулли:

.

Уравнение примет вид:

Выберем функцию так, чтобы . Приходим к системе уравнений

Найдем какое-нибудь решение уравнения (7.3).

Тогда .

Уравнение (7.4) примет вид

Общий интеграл уравнения: . Отсюда

Ответ. Общее решение:

Задание 5. .

Решение. Правая часть этого уравнения есть функция . Следовательно, это однородное уравнение (см.п. 2.4). Делаем замену . Тогда

Уравнение примет вид

Это УРП. Разделяем переменные

Отсюда

Подставив , получим общий интеграл уравнения.

Ответ.

Задание 6.

Решение. Обозначим . Тогда

.

Следовательно, это уравнение в полных дифференциалах. Общий интеграл уравнения (см. п. 2.7): ,

где функция находится из системы уравнений (2.13):

Интегрируем уравнение (7.5):

, (9.7)

где неизвестная дифференцируемая функция аргумента .

Подставим (7.7) в уравнение (7.6):

Отсюда .

Согласно формуле (7.7)

Ответ. Общий интеграл

Задание 7.

Решение. Это уравнение второго порядка и явно не содержит функции . Согласно пункту (4.1) вводим новую функцию и приходим к системе уравнений

Уравнение (7.8) - УРП. Разделяем переменные (положить )

.

Отсюда (учесть, что ) получим

Подставляем в уравнение (9.9). Оно простейшего типа.

Согласно (2.1)

.

Ответ. Общее решение .

Задание 8.

Решение. Дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно переменной «». Согласно (4.2) считаем переменной интегрирования и полагаем .

Приходим к системе уравнений

Разделяем переменные в уравнении (7.10):

Отсюда . Уравнение (7.11) примет вид

Это уравнение с разделяющимися переменными (УРП):

Ответ. Общий интеграл уравнения: .

Задание 9. Даны корни характеристического уравнения ЛОУ второго порядка с постоянными коэффициентами: . Правая часть ЛНУ: Написать частное решение ЛНУ (коэффициенты не находить).

Решение. Правая часть уравнения - сумма трех функций специального вида: , где

1) многочлен второго порядка, ;

2)

3) .

Согласно таблице 2 частное решение ЛНУ, соответствующее , имеет вид: ; функции -

; функции

.

Частное решение ЛНУ с функцией в правой части имеет вид:

+ .

Коэффициенты неизвестны.

Ответ.

Задание 10. .

Решение. Это ЛНУ второго порядка с правой частью специального вида (таб.2, п.3). Находим общее решение однородного уравнения

Характеристическое уравнение

.

Его корни .

Следовательно (см. таб.1), общее решение ЛОУ имеет вид

В правой части ЛНУ многочлен второго порядка, кроме того

Частное решение ЛНУ (см.табл.2, п.3) ищем в виде

. Тогда

Подставив в исходное уравнение , получим

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева:

Частное решение имеет вид

Общее решение имеет вид

Ответ.

Задание 11.

Решение. Это ЛНУ второго порядка с правой частью специального вида (таб.2, п.3). Находим общее решение однородного уравнения

Характеристическое уравнение

имеет корни . Общее решение ЛОУ (см. табл. 1)

Найдем частное решение ЛНУ. Его правая часть специального вида

Частное решение ищем в виде

. Тогда

.

Подставив в исходное уравнение , получим

Частное решение ЛНУ имеет вид , общее решение -

Ответ.

Задание 12.

Решение. Это ЛНУ второго порядка с правой частью нестандартного вида. Находим фундаментальную систему решений ЛОУ:

Его характеристическое уравнение

Корни уравнения .

Фундаментальная система решений (см.табл.1)

Тогда

Решение ЛНУ ищется в виде

(9.12)

Система уравнений (6.6) для определения примет вид

Используем формулы Крамера. Определитель системы

(проверьте!)

Вспомогательные определители

Итак,

Тогда

Здесь произвольные постоянные.

Подставляя в формулу (9.12) получим общее решение ЛНУ.

Ответ.

Задание 13. Найти решение задачи Коши: , (9.13)

(9.14)

Решение. Найдем общее решение ЛНУ (9.13). Его правая часть специального вида. Используем метод неопределенных коэффициентов.

Характеристическое уравнение

Общее решение однородного уравнения (см. табл.1)

(9.15)

Правая часть ЛНУ ,

Следовательно, (см. табл.2), частное решение надо искать в виде:

.

Дифференцируем и подставляем в уравнение (9.13):

,

(7.13): .

Приравниваем коэффициенты при и при справа и слева

Частное решение уравнения (7.13): .

Общее решение уравнения (7.13):

(9.16)

Отсюда (9.17)

Найдем решение задачи Коши. Подставим в (7.16) и (7.17)

Ответ. Решение задачи Коши

Задание 14. Найти решение задачи Коши системы тремя методами: методом исключения, методом Эйлера, операторным методом.

, . (9.18)

Решение. Подробное изложение данной темы см. в [1].

Метод исключения.

Дифференцируем по аргументу «» одно из уравнений системы, например, первое:

Подставляем из второго уравнения

(9.19)

Из первого уравнения находим

и подставляем его в уравнение (9.19)

.

Т.о., мы приходим к системе уравнений

Первое уравнение системы - ЛОУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение

Общее решение (см. табл. 1) имеет вид

(9.20)

Тогда . Второе уравнение системы дает

(9.21)

В уравнениях (7.20) и (7.21) положим :

.

Подставляем в уравнения (7.20) и (7.21) и получаем решение задачи Коши.

Ответ. ,

Метод Эйлера. Характеристическое уравнение (9.3) системы имеет вид

.

Отсюда

Числа , соответствующие собственному числу находим из системы (см. (7.4))

.

Аналогично, числа , соответствующие собственному числу находим из системы (см. (7.4))

.

Два линейно независимых частных решений системы имеют вид

Общее решение

.

В развернутом виде общее решение системы -

Положим . Тогда

Решение задачи Коши имеет вид

Получен тот же результат, что и методом исключения.

Операционный метод. Обозначим изображения неизвестных функций

¸ ¸

Тогда изображения производных (см.п.8)

¸ ¸

Изображение системы (7.18) имеет вид

Решение системы находим по формулам Крамера.

Определитель системы ,

Операторное решение системы уравнений (7.8) имеет вид

По таблице 3 изображений и оригиналов находим

¸ , ¸

Тогда решение задачи Коши (7.8) имеет вид

, ,

что совпадает с решением по другим методам.

Ответ. , .

Задание 15. Тело массой подброшено вертикально вверх с поверхности планеты () со скоростью и замедляет движение под действием веса тела и силы сопротивления среды: где расстояние от тела до начала координат в момент времени Найти закон движения тела и время первой остановки тела.

Решение.

В заданиях 15 используется второй закон Ньютона:

, где вектор ускорения, масса тела, суммарный вектор действующих сил.

Если движение прямолинейное, ось направлена вертикально вверх и расстояние от начала координат до движущегося тела в момент времени , то уравнение движения согласно условию задачи примет вид:

Это ЛНУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Характеристическое уравнение имеет вид

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

Частное решение (см. табл.2) ищем в виде

.

Для определения получаем уравнение:

Общее решение ЛНУ

Начальные условия: (в начальный момент времени тело находилось на поверхности планеты - в начале координат);

.

Для определения имеет систему уравнений

Закон движения тела:

Скорость тела: .

Время первой остановки тела (скорость равна нулю):