Примеры выполнения задач типового расчета

Задача 1. Стрелок стреляет в мишень до первого попадания, но не более четырех раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна р = 0, 6. Дискретная случайная величина Х – число затраченных патронов. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить М (Х), D (X), σ (Х). Определить вероятность Р того, что стрелок израсходует не менее трех патронов. Найти функцию распределения F (x) и построить ее график.
Решение: Все расчеты приведены в таблице 1.3. Случайная величина Х принимает значения Х = n (n = 1, 2, 3, 4). Подсчитаем их вероятности. Пусть вероятность промаха q = 1 – p = 0, 4. Очевидно, Р (Х = 1) = р (стрелок попал с первого раза), Р (Х = 2) = qp (стрелок первый раз промахнулся, а во второй раз попал), Р (Х = 3) = q ² p (стрелок два раза промахнулся, а в третий раз попал), Р (Х = 4) = q ³ p + q ⁴ (стрелок три раза промахнулся, а в четвертый раз попал; или четыре раза промахнулся, но и в этом случае Х = 4, так как стрелок стреляет не более четырех раз).

Расчет математического ожидания случайных величин X и X ² также приведен в таблице 1.3 по формулам (1.18), (1.22):
M (X) = x_i p_i; M (X ²) = x_i ² p_i; D (X) = M (X ²) – (M (X))².
В столбцах XP и X ² P записаны значения произведений x_i p_i и x_i ² p_i. В последней строке – суммы элементов соответствующих столбцов.
M (X) = 1, 624; M (X ²) = 3, 448; D (X) = 3, 448 – 1, 624 ² ≈ 0, 81; σ ≈ 0, 9.
Вероятность того, что стрелок израсходует не менее трех патронов соответствует вероятности события X ≥ 3:
P(X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) = 0, 096 + 0, 064 = 0, 16.

Риснок 1.2

Функцию распределения F (х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей , где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых x_i < x. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.3.
Искомая функция распределения имеет вид:
График функции распределения представлен на рис. 1.2.
Ответ: M (X) = 1, 624; D (X) ≈ 0, 81; σ ≈ 0, 9; P (X) = 0, 16.

Задача 2. Стрелок делает пять независимых выстрелов в мишень. вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0, 6. Случайная величина Х – число попаданий в цель. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить М (Х), D (X), σ (Х). Определить вероятность Р того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы одно попадание. Найти функцию распределения F (x) и построить ее график.
Решение: Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, где n = 5, р = 0, 6, q = 0, 4, тогда вероятности P (X = m) можно вычислить по формуле (1.16):
P (X = 0) = P ₅(0) = C ₅⁰ p ⁰ q ⁵ = (0, 4)⁵ = 0, 0102.
P (X = 1) = P ₅(1) = C ₅¹ p ¹ q ⁴ = 5 · 0, 6 · (0, 4)⁴ = 0, 0768.
P (X = 2) = P ₅(2) = C ₅² p ² q ³ = 10 · 0, 6² · (0, 4)³ = 0, 2304.
P (X = 3) = P ₅(3) = C ₅³ p ³ q ² = 10 · 0, 6³ · (0, 4)² = 0, 3456.
P (X = 4) = P ₅(4) = C ₅⁴ p ⁴ q ¹ = 5 · 0, 6⁴ · (0, 4) = 0, 2592.
P (X = 5) = P ₅(5) = C ₅⁵ p ⁵ q ⁰ = 0, 6⁵ = 0, 0778.
Проверка: p_i = 0, 0102 + 0, 0768 + 0, 2304 + 0, 3456 + 0, 2592 + 0, 0778 = 1.
Распределение вероятностей случайной величины Х приведено в табл. 1.4.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение, могут быть найдены по формулам (1.23):
M (X) = np = 5 · 0, 6 = 3; D (X) = npq = (np) q = 3 · 0, 4 = 1.2; σ (X) = ≈ 1, 095.

Вероятность того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы одно попадание соответствует вероятности события X ≥ 1.
P (X ≥ 1) = 1 – P (X = 0) = 1 – 0, 0102 = 0, 9898.
Функцию распределения F (х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей , где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых x_i < X. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.4.
Искомая функция распределения имеет вид: .
График функции распределения представлен на рис. 1.3.

Рисунок 1.3

Ответ: M (X) = 3; D(X) = 1, 2; σ ≈ 1, 095; Р = 0, 9898.

Задача 3. В партии из 30 деталей имеется 8 нестандартных, остальные стандартные. Наудачу отобраны 6 деталей. Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти распределение вероятностей дискретной случайной величины Х, вычислить М (Х), D (X), σ (Х). Определить вероятность Р того, что среди отобранных деталей не более двух нестандартных. Найти функцию распределения F (x) и построить ее график.
Решение: P (X = 0) = Р (все 6 деталей нестандартные) =
=(8/30)(7/29)(6/28)(5/27)(4/26)(3/25) ≈ 0, 00005.
P (X = 1) = Р (одна деталь стандартная, остальные нестандартные) =
= 6 · (22/30)(8/29)(7/28)(6/27)(5/26)(4/25) ≈ 0, 00207.
Найдена вероятность события: первая вынутая деталь стандартная, остальные нестандартные. Но стандартная деталь может быть вынута первой, второй, третьей, …, шестой, т.е. возможно шесть несовместных событий (вариантов), а искомое событие X = 1 является их суммой. Вероятность каждого варианта одинакова, поэтому найденная вероятность умножена на 6.
P (X = 2) = Р (две детали стандартные, остальные нестандартные) =
= C ₆² · (22/30) (21/29) (8/28) (7/27) (6/26) (5/25) ≈ 0, 02723.
Найдена вероятность события: две первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена на число вариантов, которыми можно вынуть две детали из шести, т.е. на .
P (X = 3) = Р (три детали стандартные, остальные нестандартные) =
= C ₆³ · (22/30) (21/29) (20/28) (8/27) (7/26) (6/25) ≈ 0, 1452.
Найдена вероятность события: три первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена на число вариантов, которыми можно вынуть три детали из шести, т.е. на .
P (X = 4) = Р (четыре детали стандартные, остальные нестандартные) =
= C ₆⁴ · (22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (8/26) (7/25) ≈ 0, 3449.
P (X = 5) = Р (пять деталей стандартные, остальные нестандартные) =
= C ₆⁵ ·(22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (18/26) (8/25) ≈ 0, 3548.
P (X = 6) = Р (все шесть деталей стандартные) =
= (22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (18/26) (17/25) ≈ 0, 1257.
Распределение вероятностей случайной величины X приведено табл. 1.5. Вероятность события X = 0 получилась равной нулю, так как расчет вероятностей проводился с точностью четыре знака после запятой. При более точном расчете P (X = 0) = 0, 000047.

Расчет математического ожидания случайных величин X и X ² также приведен в таблице 1.5 по формулам (1.18), (1.22). В столбцах XP и X ² P записаны значения произведений x_i p_i и x_i ² p_i. В последней строке – суммы элементов соответствующих столбцов.
M (X) ≈ 4, 4; M (X ²) = 20, 3329; D (X) = 20, 3329 – 4, 4003² ≈ 0, 97; σ ≈ 0, 985.
Вероятность того, что среди отобранных деталей не более двух нестандартных соответствует вероятности события X ≥ 4.
P (X ≥ 4) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) = 0, 3450+0, 3548+0, 1257 = 0, 8255.

Рисунок 1.4

Функцию распределения F (х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей , где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых x_i < x. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.5.
Искомая функция распределения имеет вид: .
График функции распределения представлен на рис. 1.4.
Ответ: M (X) = 4.4; D (X) = 0, 97; σ ≈ 0, 985; Р = 0, 8255.