Прогнозирование продаж с применением аддитивной модели с учетом сезонных колебаний.

Целью практического занятия является закрепление материала по теме прогнозирование продаж, ознакомление с моделями сезонных колебаний и построение аддитивной модели с учетом сезонных вариаций.

Для аддитивной модели фактическое значение продаж выглядит следующим образом:

(4.1)

где – фактические значения; – модель трендовой составляющей прогноза (может быть как линейной, так и нелинейной функцией); – модель сезонной составляющей (обычно задаётся тригонометрической функцией); – ошибка аддитивной модели.

Особенностью динамического ряда является явно выраженная сезонность, которая учитывается с помощью тригонометрических функций. Так, например, модель тренда может иметь следующий вид:

(4.2)

где – объем продаж; h – частота колебаний; _j – текущее время (квартал); a, b – искомые коэффициенты модели.

Задание 4.1. По данным (табл.4.1), представленным в виде динамического ряда поквартальных продаж (тыс.руб.), необходимо построить траекторию тренда и сделать прогноз на два квартала вперед.

Таблица 4.1

Объем продаж

Результаты расчётов представить в виде графика , включая прогнозные значения для двенадцатого (x₁₂) и тринадцатого (x₁₃) кварталов.

Порядок выполнения задания:

1. Построим график фактических данных продаж для определения частоты колебаний сезонной составляющей (рис.4.1).

Рис.4.1 Динамика объёма продаж

2. Определим частота сезонных колебаний из следующего соотношения:

1= Cos(2π) = Cos(hr), (4.3)

откуда h = 2π /r, где r – количество кварталов между двумя соседними пиками продаж (период). Первый пик приходится на x₄, а второй на x₈, т.е. r =4 и, следовательно, имеем h = π /2.

3. Преобразуем нелинейную модель в линейную, для этого необходимо выполнить следующую замену переменных:

. (4.4)

После замены переменных получаем новую линейную модель сезонных колебаний:

(4.5)

4. Рассчитываем коэффициенты a и b модели (4.5), используя метод наименьших квадратов (2.1) – (2.2). Данные для расчёта коэффициентов представлены в табличной форме (табл.4.2).

Таблица 4.2

Форма таблицы для расчёта параметров модели сезонных колебаний

5. Производим обратную замену переменных. Искомая модель сезонных колебаний выглядит следующим образом:

.

6. Построим график модели сезонных колебаний S(x) с учётом прогнозных значений для x₁₂ и x₁₃.

Рис.4.2 Модель сезонных колебаний

Задание 4.2. В таблице 4.3 представлены объёмы продаж (тыс.руб.) за последние 12 кварталов. Необходимо рассчитать аддитивную модель на основании этих данных и прогноз объемов продаж на следующий год. Результаты расчётов представить в виде графика , включая прогнозные значения.

Таблица 4.3

Объем продаж

Порядок выполнения задания:

1. Построим график фактических данных продаж (рис.4.3).

Рис.4.3 Динамика объёма продаж

2. Найдём – линейную трендовую составляющую аддитивной модели с помощью МНК.

3. Рассчитаем – «невязку» трендовой модели с фактическими данными.

(4.6)

4. Построим график «невязки» для определения частоты сезонных колебаний. Определим частоту сезонных колебаний.

5. Вычислим параметры модели сезонных колебаний. Для этого преобразуем нелинейную модель сезонных колебаний в линейную модель

6. Рассчитаем значения аддитивной модели.

(4.7)

7. Результаты расчётов представим в виде графика , включая прогнозные значения для следующего года.

Задание для самостоятельного решения:

Задание 4.3. В таблице 4.4 представлены объёмы продаж (тыс.руб.) за последние 12 кварталов. Необходимо рассчитать аддитивную модель на основании этих данных и прогноз объёмов продаж на следующий год. Результаты расчётов представить в виде графика, включая прогнозные значения.

Таблица 4.4

Объем продаж