Основные уравнения одномерного течения

9.1.1 Вывод уравнения Бернулли

Для получения основных уравнений одномерного движения рассмотрим течение газа в трубке тока. Направление оси выберем так, чтобы оно совпадало с осью трубки (рис. 9.1).

Рисунок 9.1 Течение газа в трубке тока

Воспользуемся первым уравнением системы (8.27):

Пренебрегая для газа влиянием массовых сил, полагаем:

.

Имея в виду, что для рассматриваемого одномерного течения , и перейдя в уравнении (8.27) к полным производным («частная производная функции равна отношению частного дифференциала по аргументу к дифференциалу аргумента, т.е. »), получим, учитывая, что :

или

. (9.1)

Уравнение изменения количества движения (уравнение импульсов) (9.1) справедливо только для обратимых течений, то есть для таких течений, в которых отсутствуют силы трения. В этом случае если система адиабатична, изменение параметров состояния совершенного газа подчиняется изоэнтропическому (адиабатическому) закону:

. (9.2),

так как адиабатный процесс является частным случаем политропического. Политропный процесс - термодинамический процесс, во время которого удельная теплоемкость газа остаётся неизменной.

Адиабатный процесс - термодинамический процесс в макроскопической системе, при котором система не получает и не отдаёт тепловой энергии.

Считая, что поток непрерывен, энергетически изолирован и трение отсутствует, мы тем самым определили его изоэнтропичность, так как в таком потоке отсутствуют необратимые преобразования механической энергии в тепло и, следовательно, энтропия потока не меняется.

Понятие энтропии впервые было введено Клазиусом в термодинамике в 1865 году для определения меры необратимого рассеивания (диссипации) энергии, меры отклонения реального процесса от идеального.

Определённая как сумма приведённых теплот, она является функцией состояния и остаётся постоянной при обратимых процессах, тогда как в необратимых - её изменение всегда положительно.

, (9.3)

где - приращение энтропии;

- минимальная теплота, подведенная к системе;

- абсолютная температура процесса.

Диссипация - переход части энергии упорядоченных процессов (кинетической энергии движущегося тела, энергии электрического тока и т. п.) в энергию неупорядоченных процессов, в конечном счёте - в теплоту.

Поэтому проинтегрировав уравнение (9.1) с учетом (9.2), получим:

. (9.4)

При , получим из (9.4):

. (9.5)

где - скорость движения газа.

- показатель политропы, значения которого изменяются от (изотермический процесс) до (адиабатный процесс).

Уравнение (9.5), известное под названием уравнения Бернулли для сжимаемой жидкости, выражает закон сохранения энергии для адиабатического течения.

После простой подстановки:

(9.6)

оно преобразуется к виду:

. (9.7)

Энтальпия газа и теплоемкость газа при постоянном давлении отнесены к единице массы и измеряются в механических единицах.

Энтальпи́ я - тепловая функция и теплосодержание - термодинамический потенциал, характеризующий состояние системы в термодинамическом равновесии при выборе в качестве независимых переменных давления, энтропии и числа частиц, то есть, энтальпия - это та энергия, которая доступна для преобразования в теплоту при определенных температуре и давлении.

Отношение в уравнении энергии (9.7) выражает энергию направленного движения частиц, а энтальпия , пропорциональная температуре, определяет энергию движения молекул. Следовательно, уравнение (9.7) выражает факт взаимного превращения энергии направленного движения частиц и тепловой энергии.

9.1.2Уравнение неразрывности для одномерного установившегося потока

Предполагая, что по сечению струйки (рис. 9.1) параметры течения не меняются рассмотрим часть потока, заключенную между сечениями 1-1 и 2-2. По определению трубка тока представляет собой замкнутую поверхность, образованную линиями тока. Через ее боковую поверхность частицы газа не проникают, так как векторы скорости касательны к этой поверхности. За 1 сек через сечение 1-1 внутрь рассматриваемой части трубки втекает масса газа, равная , а вытекающая через сечение 2-2 масса газа равна . По условию неразрывности течения эти количества должны быть одинаковыми, т. е.

(9.8)

или

. (9.9

где - секундная масса газа.

Для струйки постоянного сечения уравнение неразрывности (9.8) дает:

. (9.10)

Произведение определяет удельный расход массы газа в данном сечении (расход массы через единицу площади сечения).