Матричная форма записи системы линейных дифференциальных уравнений. Фундаментальная система решений

Познакомимся с более удобной формой записи системы линейных дифференциальных уравнений и ее решений.

Пусть дана нормальная система однородных линейных дифференциальных уравнений.

(9)

Составим матрицу из коэффициентов системы.

- матрица – столбец неизвестных функций (или вектор-функция скалярного аргумента)

Тогда систему (9) коротко можно записать как матричное дифференциальное уравнение

или

(10)

Частными решениями (10) является вектор – функция (векторы с координатами ) - тривиальное решение.

Зная правила действия с матрицами, легко проверить, что любая линейная комбинация частных решений тоже решение (10).

Замечание: функции - линейно независимы.

Известна теорема.

Т.3.1. Для того чтобы решения были линейно независимы, необходимо и

достаточно, чтобы определитель был отличен от нуля.

О.3.1. Любая линейно независимая система решений называется фундаментальной системой, а определитель - определителем Вронского.

По аналогии с дифференциальными уравнениями; если фундаментальная система известна, то общее решение - линейная комбинация частных решений.

Если система с постоянными коэффициентами, то частные решения (см. выше) отыскиваются в виде

Вектор – функции запишутся так

;

Пусть

Тогда (10) перепишем в виде

(11)

– матричное алгебраическое уравнение

При - имеем тривиальное решение. Найдем , чтобы , где вектор коллинеарен .

О.3.2. Числа , при которых существует ненулевое решение (11) называются собственными числами, а векторы собственными векторами матрицы.

Замечание: Если собственный вектор, соответствующий собственному числу , то и любой вектор , ему коллинеарный тоже собственный.

Т. е. умножая каждое решение на постоянное число, получим снова решение.