Главная страница
Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные понятия теории оптимизации
Задача оптимизации заключается в том, что заданы множество Х и функция f(x), определенная на X; требуется найти точки минимума или максимума функции f(x) на X. Общий вид задачи оптимизации может быть сформулирован следующим образом: f(x) → min, x ∈ X. hk(x) = 0, k=1,..., K gj(x) ≥ 0, j=1,..., J При этом f будем называть целевой функцией, X - допустимым множеством, любой элемент x ∈ X - допустимой точкой задачи, hk(x) - ограничениями типа равенства, а gj(x) - ограничениями типа неравенств. Необходимо дать понятие минимума, т.е. той точки, которая является решением оптимизационной задачи Определение. Глобальным минимумом f(x) называется точка x* такая что: f(x*) ≤ f(x) для любого x∈ X. Если мы заменим слово " минимум" на " максимум", а в неравенстве поменяем знак, то мы получим определение глобального максимума. Точки минимума или максимума еще называют экстремальными точками, а задачи - экстремальными задачами. Различают задачи безусловной оптимизации и задачи условной оптимизации. Задача безусловной оптимизации имеет вид: f(x) → min, x ∈ X. Рассмотрим методы решения задач безусловной оптимизации. ^ Задачи безусловной оптимизации для функций одной переменной Согласно наиболее простому определению, функция представляет собой правило, которое позволяет каждому значению поставить в соответствие единственное значение . В этом случае носит название независимой переменной, а - зависимой переменной. Ряд физических процессов можно описать (или построить модели этих процессов) с помощью непрерывных функций, т.е. функций, которые обладают свойством непрерывности в каждой точке , принадлежащей областям их определения. Определение. Функция f, определенная на выпуклом множестве X⊂ Rn, называется выпуклой, если f( λ x1 + (1- λ )x2) ≤ λ f(x1) + (1- λ )f(x2)
при всех x1, x2 ∈ X, λ ∈ [0, 1]. Определение. Функция называется вогнутой, если функция -f является выпуклой. Рисунок: Пример выпуклой и вогнутой функции. 
|