Ход работы

1. Разбор тематических задач

Пример 1. Случайная величина Х задана функцией распределения

0, x ≤ -1

F(x) = 3/4x + ¾, -1< x ≤ 1/3

1, x > 1/3

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).

Решение. P(a < X < b) = F(b) – F(a)

P(0 < X < 1/3) = F(1/3) – F(0) = [(3/4x + ¾ ] _x=1/3 – [(3/4x + ¾ ] _x=0 = ¼.

Пример 2. Дана функция распределения НСВ Х

0, x ≤ 0

F(x) = sinx, 0< x ≤ п/2

1, х > п/2

Найти плотность распределения f(x).

Решение. 0, x ≤ 0

f(x) = F`(x) = cosx, 0< x ≤ п/2

0, x > п/2

Пример 3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения

f(x) = (3|2)sin3x в интервале (0, п/3); вне этого интервала f(x) = 0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (п/6, п/4).

Решение Воспользуемся формулой

b

Р(а< X< b) = ∫ f(x) dx, а = п/6, b= п/4, f(x) = (3/2)sin3x.

а

Следовательно, искомая вероятность

п/4

P(п/6 < X < п/4) = (3/2) ∫ sin 3x dx = √ 2 /4.

п/6

Пример 4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

0, x ≤ 0

f(x) = cosx, 0 < x ≤ п/2

0, x > п/2

Найти функцию распределения F(x).

Решение. Используем формулу

x

F(x) = ∫ f(x) dx

-∞

Если х ≤ 0, то f(x) = 0, следовательно,

F(x) = ∫ 0 dx

-∞

Если 0 < x≤ п/2, то

0 x

F(x) = ∫ 0 dx + ∫ cosx dx = sinx.

-∞ 0

Если х > п/2, то

0 п/2 x п/2

F(x) = ∫ 0 dx+ ∫ cosxdx+ ∫ 0 dx= sinx│ = 1.

-∞ 0 п/2 0

Итак, искомая функция распределения

0, x≤ 0

F(x) = sinx, 0 < x≤ п/2

1, х > п/2.

Пример 5. Случайная величина Х, все возможные значения которой принадлежат интервалу (0; п/3), задана на этом интервале плотностью распределения вероятностей f(x) = C sin 3x.. Найти коэффициент С.

Решение: Воспользуемся формулой

b

∫ f(x) dx= 1

а

п/3 п/3 п/3

Получаем ∫ С sin 3x dx = C ∫ sin 3x dx = 1 → C = 1/ ∫ sin 3x dx = 3/2

0 0 0

Пример 6. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 2x в интервале (0, 1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.

Решение: Воспользуемся формулами

b

М(х) = ∫ хf(x) dx

a

b

D(х) = ∫ х² f(x) dx– (M(x))²

a

σ (х) = √ D(x).

1 1 1

M(x) = 2 ∫ x * x dx = 2 ∫ x² dx = (2/3) x³ │ = 2/3

0 0 0

1 1

D(x) = 2 ∫ x²x dx – (2/3)² = (2/4) x⁴ │ - (4/9) = 1/18

0 0

σ (х) = √ 1/18.

2. Задачи для самостоятельного решения

1) Случайная величина Х задана функцией распределения

0, x ≤ 2

F(x) = (х-2)² , 2< x ≤ 4

1, х > 4

Найти:

А) плотность распределения вероятностей f(x);

Б) построить графики функций F(x) и f(x);

В) по известной функции F(x) и по найденной функции f(x) найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, не меньшее 2, 1 и меньшее 2, 5.

Ответ: Р= 0, 24

2) Случайная величина Х задана функцией распределения

0, x ≤ 2

F(x) = 0, 5х, 2< x ≤ 4

1, х > 4

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение:

А) меньшее 0, 2

Б) меньшее трех

В) не меньшее трех

Г) не меньшее пяти

Ответ: а) 0; б)0, 5; в) 0, 5; г) 0

3) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х

0, x ≤ п/6

f(x) = 3sin3x, п/6 < x ≤ п/3

0, х > п/3

Найти функцию распределения F(x).

Ответ: 0, x ≤ п/6

F(x) = -cos3x, п/6 < x ≤ п/3

1, х > п/3

4) Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана в интервале (0, 1) равенством f(x) = C arctg x; вне этого интервала f(x) = 0. Найти постоянный параметр С.

Ответ: С = 4/(п – ln4).

5) Случайная величина Х задана функцией распределения

0, x ≤ 0

F(x) = х² , 0< x ≤ 1

1, х > 1

Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0, 25; 0, 75).

Ответ: Р = 0, 5

6) Случайная величина Х, все возможные значения которой принадлежат интервалу (0, 3), задана в этом интервале дифференциальной функцией распределения f(x) = (2/9)x. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.

Ответ: M(x) = 2; D(x) = 0, 5; σ (x)≈ 0, 7071.

7) Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной плотностью распределения

0, x ≤ -c

f(x) = (1/c)(1+x/c) , -c < x ≤ 0

(1/c)(1-x/c), 0 ≤ x ≤ c

0, x > c

Ответ: M(x) = 0

8) Случайная величина Х задана функцией распределения

0, x ≤ А

F(x) = (х³ )/8, А< x ≤ В

1, х > В

Найти значения А и В, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Ответ: А = 0; В = 2; M(x) = 1, 5; D(x) = 0, 15; σ (X)≈ 0, 387

3. Форма отчета

1.Прорешать представленные задачи в тетради

2.Оценить свою работу по следующей схеме:

6 задач – 3 балла

7 задач - 4 балла

8 задач – 5 баллов

4. Задание на внеаудиторную самостоятельную работу

1. Решить следующие задачи:

1) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х

0, x ≤ 1

f(x) = С(x²-x), 1 < x ≤ 2

0, х > 2

Найти: а) постоянную С

б) вероятность попадания СВ Х в интервал (1/2; 3/2).

2) Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х

0, x ≤ 1

f(x) = (3x²-2x)/с, 1 < x ≤ 4

0, х > 4

Найти: а) постоянную С

б) математическое ожидание

в) дисперсию

г) среднее квадратическое отклонение

2. Ответить на контрольные вопросы

Контрольные вопросы.

1. Какая случайная величина называется непрерывной

2. Что называется функцией распределения

3. Чему равно математическое ожидание НСВ

4. Что называется плотностью распределения

Литература

Основные источники:

1. В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и мат. статистика». Изд-во Высшая школа, г.Москва, 2011г.
2. В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и мат. статистике». Изд-во Высшая школа, г.Москва, 2011г.
3. Г.В. Горелова, И.А. Кацко «Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: учебное пособие для вузов(Изд. 3-е, доп. И перераб.) / Серия «Высшее образование»; Ростов н/Д: Феникс, 2009.

Дополнительные источники:

1. Г.Л. Громыко «Общая теория статистики, практикум». Изд-во Инфра-М, г. Москва, 2010г.
2. В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин «Математическая статистика», Высшая школа, 2012 г.

Интернет-ресурсы:

1. https://ru.wikipedia.org/wiki
2. https://mirknig.com/knigi/business/1181147887-teorija-verojatnostejj-i.html