Ход работы

1. Разбор тематических задач

Пример 1. Найти ряд распределения случайной величины Х – числа выпадений 6-ти очков при одном бросании игральной кости.

Решение. Случайная величина Х – число выпадений 6-ти очков при одном бросании игральной кости. В результате испытания она может принять одно из двух возможных значений: х1 = 0; х2 = 1.

Вероятность выпадения 6-ти очков - 1/6, вероятность не выпадения – 5/6.

Случайная величина Х имеет следующий ряд распределения:

Х 0 1

Р 5/6 1/6

Пример 2. Монета бросается 5 раз. Составить закон распределения ДСВ Х – числа появлений герба.

Решение. ДСВ Х может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Воспользуемся формулой Бернулли: вероятность появления герба в одном опыте р = ½, не появления q = ½, n = 5.

Имеем:

P₅(X = 0) = C⁰₅ p⁰ q^5-0 = 1* (1|2)⁰ * (1|2)^5-0 = 1|32

P₅(X = 1) = C¹₅ p¹ q^5-1 = 5* (1|2)¹ * (1|2)^5-1 = 5|32

P₅(X = 2) = C²₅ p² q^5-2 = 1* (1|2)² * (1|2)^5-2 = 10|32

P₅(X = 3) = C³₅ p³ q^5-3 = 1* (1|2)³ * (1|2)^5-3 = 10|32

P₅(X = 4) = C⁴₅ p⁴ q^5-4 = 1* (1|2)⁴ * (1|2)^5-4 = 5|32

P₅(X = 5) = C⁵₅p⁵ q^5-5 = 1* (1|2)⁵ * (1|2)^5-5 = 1|32

Подставим полученные данные в таблицу распределения:

Х 0 1 2 3 4 5

Р 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32

Пример 3. В партии из 8-ми деталей 5 стандартных. Наудачу взяты 4 детали. Построить ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение. ДСВ Х- число стандартных деталей среди отобранных. Она может принимать возможные значения: х1 = 1; х2 = 2; х3 = 3; х4 = 4;

Определим вероятности этих возможных значений:

Р(Х = 1) = (C¹₅ C³₃ ) / C⁴₈ = 1/14

Р(Х = 2) = (C²₅ C²₃ ) / C⁴₈ = 6/14

Р(Х = 3) = (C³₅ C¹₃ ) / C⁴₈ = 6/14

Р(Х = 4) = (C⁴₅ C⁰₃ ) / C⁴₈ = 1/14

Искомый ряд распределения имеет вид:

Х 1 2 3 4

Р 1/14 6/14 6/14 1/14

Пример 4. Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной законом распределения:

X -4 6 10

p 0, 2 0, 3 0, 5

Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:

M(X) = -4*0, 2+6*0, 3+10*0, 5 = 6.

Пример 5. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания Х и Y:

Z=X+2Y, M(X)=5, M(Y)=3;

Решение:

Используя свойства математического ожидания(математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим

М(Z) = M(X+2Y) = M(X)+M(2Y) = M(X)+2M(Y) = 5+2*3 = 11.

Пример 6. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x1=-1, x2=0, x3=1, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X)=0, 1, M(X²)=0, 9. Найти вероятности p1, p2, p3, соответствующие возможным значениям х1, x2, x3.

Решение Пользуясь тем, что сумма вероятностей всех возможных значений Х равна единице, а также принимая во внимание, что M(X)=0, 1, M(X²)=0, 9, составим следующую систему трех линейных уравнений относительно неизвестных вероятностей:

P1+P2+P3=1,

(-1)p1+0p2+1p3=0, 1,

(-1)²p1+0² p2+1² p3=0, 9.

Решив эту систему, найдем искомые вероятности: p1=0, 4, p2=0, 1, p3=0, 5.

Пример 7 Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х- числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.

Решение Воспользуемся формулой M(X)=n*P, где

n- общее число испытаний (бросаний пяти костей);

X- число появлений интересующего нас события(на двух костях из пяти появится по одному очку) в n испытаниях;

P- вероятность появления рассматриваемого события в одном испытании.

По условию, n=20. Остается найти P- вероятность того, что на гранях двух из пяти костей появится по одному очку. Эту вероятность вычислим по формуле Бернулли, учитывая, что вероятность появления одного очка на грани одной кости p=1/6 и, следовательно, вероятность не появления q=1-1/6=5/6:

P=P₅ (2)=C ²₅ (1/6)² (5/6)³ = (5⁴) /(3*6⁴).

Искомое математическое ожидание

M(X)=n*P=20*(5⁴) /(3*6⁴)» 3

Пример 8 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

X -5 2 3 4

P 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2

Решение Дисперсию можно вычислить исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой

D(X)=M(X²)-[M(X)]², которая быстрее ведет к цели.

Найдем математическое ожидание Х:

M(X)= -5*0, 4+2*0, 3+3*0, 1+4*0, 2= -0, 3.

Напишем закон распределения Х²:

X² 25 4 9 16

P 0, 4 0, 3 0, 1 0, 2

Найдем математическое ожидание Х²:

M(X²)=25*0, 4+4*0, 3+9*0, 1+16*0, 2=15, 3.

Найдем искомую дисперсию:

D(X)=M(X²)-[M(X)]²=15, 3 - (0, 3²)=15, 21.

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

s(X)= Ö D(X)= Ö 15, 21=3, 9.

Пример 9 Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=3*X+2*Y, если известно, что D(X)=5, D(Y)=6.

Решение Так как величины X и Y независимы, то независимы также и величины 3*X и 2*Y. Используя свойства дисперсии(дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим

D(Z)=D(3*X+2*Y)=D(3*X)+D(2*Y)=9*D(X)+4*D(Y)=9*5+4*6=69.

Пример 10 Найти дисперсию дискретной случайной величины Х-числа появлений события А в пяти не зависимых испытаниях, если вероятности появления событий А в каждом испытании равна 0, 2.

Решение Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях(с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события:

D(X)=n*p*q.

По условию, n=5; p=0, 2; q=1-0, 2=0, 8.

Искомая дисперсия

D(X) =n*p*q=5*0, 2*0, 8=0, 8.

Пример 11 Найти дисперсию дискретной случайной величины Х-числа появлений события А в двух независымых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X)=1, 2.

Решение

Воспользуемся формулой M(X)=n*p.

По условию, M(X)=1, 2; n=2. Следовательно, 1, 2=2p. Отсюда p=0, 6 и, значит, q=0, 4.

Найдем искомую дисперсию:

D(X)=npq=2*0, 6*0, 4=0, 48.

Разумеется, второй способ быстрее ведет к цели.

2. Задачи для самостоятельного решения

1) Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0, 1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Ответ: Х 0 1 2 3

Р 0, 729 0, 243 0, 027 0, 001

2) Игра состоит в набрасывании колец на колышки. Игрок получает четыре кольца и бросает по одному из этих колец до первого попадания на колышек. Вероятность попадания при каждом бросании равна 0, 1. Найти ряд распределения случайной величины Х – числа неизрасходованных игроком колец.

Ответ: Х 0 1 2 3

Р 0, 729 0, 081 0, 09 0, 1

3) Фермер содержит 15 коров, 5 из которых дают удои более, чем по 4 500 л молока в год. Случайным образом отобрано 3 коровы. Найти закон распределения случайной величины Х – числа коров, дающих высокие удои среди отобранных.

Ответ: Х 0 1 2 3

Р 24/91 45/91 20/91 2/91

4) Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х 0, 21 0, 54 0, 61

p 0, 1 0, 5 0, 4

Ответ: М(Х) = 0, 535

5) Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания Х и Y:

а)Z=3X+4Y,

б)Z=X-4

в)Z=2-2Y если M(X)=2, M(Y)=6.

Ответ: M(Z) = 30, M(Z) = 2, M(Z) = -10

6) Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: x1=4 с вероятностью p1= 0, 5; x2=6 с вероятностью p2=0, 3 и х3 с вероятностью p3. Найти х3 и p3, зная, что М(Х)=8.

Ответ: x3 = 21; p3 = 0, 2

7) Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: x1=1, x2=2, x3=3, а также известны математические ожидания этой величины и ее квадрата: M(X)=2, 3, M(X²)=5, 9.

Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

Ответ: p1 = 0, 2; p2 = 0, 3; p3 = 0, 5

8) Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

Ответ: 12, 25

9) Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0, 3.

Ответ: 6 билетов.

10) Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины

А) Z=X+3Y,

Б) Z= Y-2X

В) Z= X - 4 если известно, что D(X)=5, D(Y)=6.

Ответ: D(Z)=59, D(Z)=26, D(X)=5

11) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

а) X 4, 3 5, 1 10, 6

p 0, 2 0, 3 0, 5;.

Ответ: D(X)≈ 248, 95, σ (X)≈ 15, 78.

12) Найти дисперсию дискретной случайной величины Х-числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0, 9.

Ответ: D(X)=0, 9

13) Бросают 12 игральных костей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

Ответ: M(X)=42, D(X)=35, σ (X)=5, 92.

3. Форма отчета

1.Прорешать представленные задачи в тетради

2.Оценить свою работу по следующей схеме:

6 задач – 3 балла

8 задач - 4 балла

10 задач – 5 баллов

4. Задание на внеаудиторную самостоятельную работу

1. Решить следующие задачи:

1) Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель первым бомбардировщиком равна 0, 7, вторым – 0, 8. Вначале сбрасывает бомбы первый бомбардировщик. Составить первые четыре члена закона распределения дискретной случайной величины Х – числа сброшенных бомб обоими бомбардировщиками. (т. е. ограничится возможными значениями Х, равными 1, 2, 3, 4)

Ответ: Х 1 2 3 4

Р 0, 7 0, 24 0, 042 0, 0144

2) В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных

Ответ: Х 0 1 2

Р 1/45 16/45 28/45

3) Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0, 8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа патронов выданных стрелку.

Ответ: Х 1 2 3... k...

Р 0, 2 0, 16 0, 128... 0, 8^k-10, 2...

4) Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

X 131 140 160 18

p 0, 05 0, 10 0, 25 0, 60.

Ответ: D(X)≈ 248, 95, σ (X)≈ 15, 78.

5) Найти дисперсию дискретной случайной величины Х- числа появлений события А в двух не зависимых испытаниях,, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M(X)=0, 9.

Ответ: D(X)=0, 495

6) Дискретная случайнвя величина Х имеет только два возможных значения: x1 и х2, причем х2> x1. Вероятность того, что Х примет значение х1, равна 0, 6. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание и дисперсия известны: M(X)=1, 6; D(X)=0, 24.

Ответ: x1=1; x2=2.

2. Ответить на контрольные вопросы

Контрольные вопросы.

1. Классическая формула вероятности

2. Правило произведения в комбинаторике

3. Правило суммы в комбинаторике

4. Размещения без повторений и с повторениям из n элементов по k

5. Сочетания без повторений и с повторениями из n элементов по k

6. Перестановки из n элементов без повторений и с повторениями

Литература

Основные источники:

1. В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и мат. статистика». Изд-во Высшая школа, г.Москва, 2011г.
2. В.Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и мат. статистике». Изд-во Высшая школа, г.Москва, 2011г.
3. Г.В. Горелова, И.А. Кацко «Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: учебное пособие для вузов(Изд. 3-е, доп. И перераб.) / Серия «Высшее образование»; Ростов н/Д: Феникс, 2009.

Дополнительные источники:

1. Г.Л. Громыко «Общая теория статистики, практикум». Изд-во Инфра-М, г. Москва, 2010г.
2. В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин «Математическая статистика», Высшая школа, 2012 г.

Интернет-ресурсы:

1. https://ru.wikipedia.org/wiki
2. https://mirknig.com/knigi/business/1181147887-teorija-verojatnostejj-i.html