Кратные интегралы

Задача 2. Вычислить

Решение:

Изобразим область интегрирования

Задача 3. Вычислить

Решение:

Изобразим область интегрирования

Задача 4. Вычислить

Решение:

Задача 5. Вычислить

Решение:

Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями .

Решение:

Изобразим область интегрирования

Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями , .

Решение:

Определяем область интегрирования

Таким образом, линия - окружность с центром и радиусом .

Таким образом, линия - окружность с центром и радиусом .

Перейдем к полярным координатам , . Уравнения примут вид

, значит .

, значит .

Изобразим область интегрирования

Задача 8. Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, µ - поверхностная плотность. Найти массу пластинки

;

Решение:

Перейдем к полярным координатам , .

Отсюда

Изобразим область интегрирования

Задача 9. Пластинка D задана неравенствами, µ - поверхностная плотность. Найти массу пластинки

;

Решение:

Перейдем к полярным координатам , ,

Изобразим область интегрирования

Задача 10. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

, , ,

Решение:

Изобразим область интегрирования в плоскости XOY

Задача 11. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

, ,

Решение:

Найдем область интегрирования

окружность радиуса и с центром в точке

Перейдем к полярным координатам , .