Векторный анализ

Задача 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

Решение:

, ,

В точке

, ,

Отсюда нормальный вектор

, ,

В точке

, ,

Отсюда градиент

Производная скалярного поля по направлению

Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей и в точке

Решение:

, ,

в точке

, ,

, ,

в точке

, ,

Таким образом угол между градиентами скалярных полей равен

Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле .

Решение:

, ,

Уравнение векторной линии имеет вид или

Таким образом получаем систему

Векторные линии в векторном поле определяются уравнением

Задача 4. Найти поток векторного поля через часть поверхности , вырезаемую плоскостями , (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями)

Решение:

Данная поверхность, вырезаемая плоскостями , – прямой цилиндр с радиусом и высотой

, ,

Отсюда нормальный вектор

Задача 5. Найти поток векторного поля через часть плоскости , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz)

Решение:

Находим дивергенцию

Задача 6. Найти поток векторного поля через часть плоскости , расположенную в I октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz)

Решение:

нормальный вектор

Задача 7. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя)

Решение:

Находим дивергенцию

Таким образом замкнутая поверхность является сферой с радиусом

Определяем поток векторного поля через данную замкнутую поверхность

Задача 8. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя)

Решение:

Находим дивергенцию

Определяем поток векторного поля через данную замкнутую поверхность

Задача 9. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя)

Решение:

Находим дивергенцию

Замкнутая поверхность – сфера с центром в начале координат и радиусом

Определяем поток векторного поля через данную замкнутую поверхность

Переходим к сферическим координатам

Новые переменные изменяются в пределах

Таким образом