Уравнения гидромеханики в дифференциальной форме

Рассмотрим первое уравнение системы (4.2)

Скалярное произведение векторов и равно

,

тогда

.

В соответствие с теоремой Остроградского-Гаусса[1] можно записать:

.

Это равенство справедливо для произвольного объема. Поскольку Ω – произвольный объем, то подынтегральная функция равна 0:

или (4.5а)

. (4.5б)

Уравнение (4.5б) (или (4.5а)) называется уравнением неразрывности.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы (4.2).

Обозначим левую его часть через I ₁, правую – I ₂:

,

.

Подставляя в уравнение и перенося правую часть влево, получим

.

Так как Ω – произвольный объем, то с учетом теоремы Остроградского-Гаусса

.

Преобразуем полученное выражение, продифференцировав выражения в скобках, получим

.

В соответствие с уравнением неразрывности первое слагаемое равно нулю. Выражение в скобках второго слагаемого представим как скалярное произведение векторов, третье слагаемое перенесем в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на ρ, в результате получим

. (4.6)

где .

Полученное в векторной форме выражение (4.6) в гидродинамике называют уравнением движения Эйлера.

Рассмотрим третье уравнение системы в виде (4.3).

Проведем аналогичные преобразования. В соответствие с теоремой Остроградского-Гаусса

.

Так как Ω – произвольный объем, то

,

. ПРОВЕРЬ

Тогда у равнение энергии для частицы среды можно записать в следующем виде:

. (4.7)

Из (4.7) следует, что для частицы:

.

Для установившегося движения линии тока и траектории частиц одно и тоже, т.е. вдоль траектории частиц.

При установившемся движении частица движется вдоль линии тока. Поэтому, все соотношения, справедливые вдоль траектории, будут выполняться и вдоль линии тока.

Вопрос 5. Газодинамические параметры и функции.