II. Правила действий с векторами в координатах. Основные формулы.

– Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

– Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

– Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Длина вектора :

.

Скалярное произведение векторов и :

.

Косинус угла между векторами и :

.

Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов и :

.

Условие коллинеарности векторов и :

.

Расстояние между точками М₁ и М₂ :

|M₁M₂| = .

Пусть С (x; y; z) - середина отрезка M₁M₂. Тогда координаты точки С:

; ; .

894. Точки М и К – середины рёбер В₁С₁ и А₁D₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно. Укажите все пары:

а) сонаправленных векторов;

б) противоположно направленных векторов;

в) равных векторов.

895. На плоскости даны векторы и . Построить векторы: 3 , + , .

896. ABCD – параллелограмм, , . Выразить через и векторы , , , .

897. Упростите выражение: а) ; б) ; в) ; г) .

898. Даны точки А, В, С и D. Представьте вектор в виде алгебраической суммы следующих векторов: а) , , ; б) , , ; в) , , .

899. Упростите выражение: а) ; б) ; в) .

900. Упростите: а) ; б) .

901. Докажите, что в параллелепипедеABCDA₁B₁C₁D₁ + = 2 .

902. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Какие из следующих трёх векторов компланарны: а) ; б) , , ; в) ; г) , ?

903. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Разложите вектор по векторам . б) Разложите вектор по векторам , и .

904. Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства, то .

905. Даны точки А (3; -1; 0), В (0; 0; -7), С (2; 0; 0), D(- 4; 0; 3), E (0; -1; 0), F(1; 2; 3), G (0; 5; -7), H (- ; ; 0). Какие из этих точек лежат на: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Оyz; е) плоскости Оxz?

906. Найдите координаты проекций точек А (2; -3; 5), В (3; -5; ) и С () на: а) координатные плоскости Оxz, Oxy и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Оz.

907. Даны координаты четырёх вершин куба ABCDA₁B₁C₁D₁: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и А₁ (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.

908. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ D (0; 0; 0), C (2; 0; 0), A₁ (0; 2; 2). Найдите координаты остальных вершин куба.

909. Даны точки А (1; 4; -3), В (-1; 0; -2). Найдите координаты вектора и его длину.

910. Даны три точки А (1; 0; 2), В (-1; -1; 0), С (1; 2; 0). Найти векторы , , , .

911. Даны три точки А (2; 1; 0), В (-1; 3; 1), С (-1; 3; -4). Найти векторы , , .

912. Даны векторы (5; 1; -1) и (9; 0; -4). Найти вектор и его длину.

913. Даны векторы (5; 0; 1) и (-7; 4; -2). Найти вектор и его длину.

914. Запишите координаты векторов: , , , , , .

915. Даны векторы , , , . Запишите разложения этих векторов по координатным векторам , , .

916. Даны векторы и . Найти векторы ; ; ; .

917. Даны векторы и . Найти векторы ; ; ; .

918. Даны векторы , , и . Найдите координаты векторов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

919. Даны векторы (5; -1; 1), (-2; 1; 0), (0; 0, 2; 0) и (). Найдите координаты векторов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) 2 ; и) -3 ; к) -6 ; л) ; м) 0, 2 .

920. Даны векторы , и . Найдите координаты векторов и .

921. Найдите координаты векторов, противоположных следующим векторам: , , , , , ).

922. Коллинеарны ли векторы: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ?

923. Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарны: а) и ; б) и .

924. Даны два вектора и . Найти x и z, если || .

925. Даны два вектора и . Найти k и m, если || .

926. Определить, при каких значениях х векторы (х ³ - 1)· и 2 х являются сонаправленными, если .

927. Определить, при каких значениях m векторы (m ² - m - 2)· и m ³ · противоположно направлены, если .

928. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (3; -1; 4), В (0; -2; 5) и С (1; 2; 2). Найти четвёртую вершину параллелограмма.

929. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (2; 3; 4), В (1; -3; 7) и С (4; 3; 7). Найти четвёртую вершину параллелограмма.

930. Даны точки А (3; -1; 2), В (1; 2; -1), С (-1; 1; -3) и D (3; -5; 3). Доказать, что ABCD – трапеция.

931. Найти такое число m, при котором векторы , и являются компланарными.

932. Установить, являются ли компланарными следующие векторы:

а) (2; 3; -1); (1; -1; 3); (1; 9; -11);

б) (3; -2; 1); (2; 1; 2); (3; -1; -2);

в) (2; -1; 2); (1; 2; -3); (3; -4; 7).

933. Компланарны ли векторы: а) , и ; б) , и ; в) , и ; г) , и ; д) , и (-1; 2; 4); е) , и ?

934. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между векторами: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ; д) и ; е) и ; ж) и ; з) и .

935. Даны векторы (1; -1; 2), (-1; 1; 1) и (5; 6; 2). Вычислите , , , , .

936. Даны векторы (3; -1; 1), (-5; 1; 0) и (-1; -2; 1).Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой между векторами: а) и ; б) и ; в) и .

937. Даны векторы и . При каком значении m векторы и перпендикулярны?

938. Даны точки А (0; 1; 2), В (; 1; 2), С (; 2; 1) и D (0; 2; 1). Докажите, что ABCD – квадрат.

939. Вычислите углы между вектором и координатными векторами.

940. Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; -1) и С (1; 2; -1). Вычислите угол между векторами и .

941. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А (1; -1; 3), В (3; -1; 1) и С (-1; 1; 3).

942. Найти , если | | = 3; | | = 4 и угол между и равен .

943. Найти , если | | = 1; | | = 2 и угол между и равен .

944. Найти , если | | = 2; | | = 3 и вектор .

945. Найти , если | | = 3; | | = 4; угол между и равен .

946. Найти угол между векторами и .

947. Дан треугольник с вершинами в точках А (3; -2; 1), В (3; 0; 2) и С (1; 2; 5). Найти угол, образованный медианой BD и стороной АС.

948. Даны вектора и . Найти угол, образованный векторами и .

949. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если векторы и составляют угол 30° и .

950. Найти площадь треугольника с вершинами А (2; 3; 1), В (4; 4; 0) и С (3; 1; -1).

951. Точки А (4; -3; 7), В (5; 3; 8) и D (10; -4; 6) являются вершинами ромба ABCD. Найти длину диагонали АС.